8.（4.0分）设一平面薄片在面xoy内占的区域为D，且其密度函数u(x,y)，则此薄片的质量表示为（）。A. lim_(lambdato0)sum_(i=1)^nmu(xi_(i),eta_(i))Deltasigma_(i),lambda是小区域Deltasigma_(i)直径的最大值B. lim_(lambdato0)sum_(i=1)^nmu(xi_(i),eta_(i))Deltasigma_(i)

本题考查利用二重积分的定义来表示平面薄片的质量。解题思路是通过将平面薄片分割、近似代替、求和、取极限这四个步骤，推导出平面薄片质量的表达式。

详细步骤如下

1. 分割：
   用任意的曲线网将区域 $D$ 分成 $n$ 个小闭区域 $\Delta\sigma_1,\Delta\sigma_2,\cdots,\Delta\sigma_n$，其中 $\Delta\sigma_i$ 表示第 $i$ 个小闭区域，同时也表示它的面积。记 $\lambda_i$ 为 $\Delta\sigma_i$ 上任意两点间距离的最大值（即 $\Delta\sigma_i$ 的直径），$\lambda = \max\{\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\}$。
2. 近似代替：
   在每个小闭区域 $\Delta\sigma_i$ 上任取一点 $(\xi_i,\eta_i)$，由于 $\Delta\sigma_i$ 很小，且密度函数 $\mu(x,y)$ 在 $D$ 上连续，所以可以用 $\mu(\xi_i,\eta_i)$ 近似表示 $\Delta\sigma_i$ 上各点的密度。那么第 $i$ 个小薄片的质量 $\Delta m_i$ 近似为 $\Delta m_i\approx\mu(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$。
3. 求和：
   整个平面薄片的质量 $m$ 近似等于这 $n$ 个小薄片质量的和，即 $m\approx\sum_{i = 1}^{n}\mu(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$。
4. 取极限：
   当分割越来越细，也就是 $\lambda\to0$ 时，上述和式的极限就应该是平面薄片的精确质量 $m$，即 $m = \lim_{\lambda\to0}\sum_{i = 1}^{n}\mu(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$。

选项 A 中明确指出 $\lambda$ 是小区域 $\Delta\sigma_i$ 直径的最大值，这是二重积分定义中极限过程的一种表述方式，但在一般的二重积分定义表示质量时，不需要特别强调 $\lambda$ 是直径的最大值，只需要说明是分割的细度趋于 0 即可，所以选项 A 表述过于繁琐，而选项 B 是更简洁准确的表示。