题目
17. (3.0分) 一个袋子中有2只黑球和3只白球，从袋中任取两个球，则取到的两个球均为白球的概率为_____(用小数表示) (3.0) 第1空 请输入答案
17. (3.0分) 一个袋子中有2只黑球和3只白球，从袋中任取两个球，则取到的两个球均为白球的概率为_____(用小数表示) (3.0) 第1空 请输入答案
题目解答
答案
要确定从一个包含2只黑球和3只白球的袋子中取出的两个球均为白球的概率，我们需要遵循以下步骤： 1. 计算从5只球中取出2只球的总方法数。 2. 计算从3只白球中取出2只白球的方法数。 3. 将有利结果的数量除以总结果的数量，得到概率。 让我们从第一步开始： 1. 从5只球中取出2只球的总方法数由组合公式 $ \binom{5}{2} $ 给出，计算如下： \[ \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{2 \times 1 \times 3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \] 因此，从5只球中取出2只球有10种可能的方法。 2. 从3只白球中取出2只白球的方法数由组合公式 $ \binom{3}{2} $ 给出，计算如下： \[ \binom{3}{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 1} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3 \] 因此，从3只白球中取出2只白球有3种可能的方法。 3. 取出的两个球均为白球的概率是有利结果的数量除以总结果的数量： \[ \text{概率} = \frac{\text{取出2只白球的方法数}}{\text{取出2只球的总方法数}} = \frac{3}{10} = 0.3 \] 因此，取出的两个球均为白球的概率是 $\boxed{0.3}$。
解析
本题考查古典概型概率的计算。解题思路是先确定从袋子中取球的所有可能情况数，即总样本点个数，再确定取到两个球均为白球的情况数，即有利样本点个数，最后根据古典概型概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$P(A)$表示事件$A$发生的概率，$m$表示事件$A$包含的基本事件个数，$n$表示基本事件的总数）计算取到两个球均为白球的概率。
- 计算从$5$只球中取出$2$只球的总方法数$n$：
从$n$个不同元素中取出$m$个元素的组合数记为$\binom{n}{m}$，其计算公式为$\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n - m)!}$。
从$5$只球中取出$2$只球的总方法数由组合公式$\binom{5}{2}$给出，计算如下：
$\begin{align*}\binom{5}{2}&=\frac{5!}{2!(5 - 2)!}\\&=\frac{5!}{2!3!}\\&=\frac{5\times4\times3!}{2\times1\times3!}\\&=\frac{5\times4}{2\times1}\\& = 10\end{align*}$
所以，从$5$只球中取出$2$只球有$10$种可能的方法，即总样本点个数$n = 10$。 - 计算从$3$只白球中取出$2$只白球的方法数$m$：
从$3$只白球中取出$2$只白球的方法数由组合公式$\binom{3}{2}$给出，计算如下：
$\begin{align*}\binom{3}{2}&=\frac{3!}{2!(3 - 2)!}\\&=\frac{3!}{2!1!}\\&=\frac{3\times2\times1}{2\times1\times1}\\&=\frac{3\times2}{2\times1}\\& = 3\end{align*}$
所以，从$3$只白球中取出$2$只白球有$3$种可能的方法，即有利样本点个数$m = 3$。 - 计算取到两个球均为白球的概率$P$：
根据古典概型概率公式$P=\frac{m}{n}$，将$m = 3$，$n = 10$代入可得：
$P=\frac{3}{10}=0.3$