6 要造一个体积为定数k的无盖长方体水箱，在求解关于长x、宽y、高z各为怎样的尺寸才能使表面积最小，以下说法错误的是（）A. 构造的拉格朗日函数为 L(x,y,z)=xy+2(yz+zx)+lambda(xyz-k)B. 目标函数为A=xy+2(yz+zx)C. 当x=y=sqrt[3](2k),z=(1)/(2)sqrt[3](2k)时表面积最小为 3sqrt[3](4k^2)D. 约束条件为xyz+k=0

本题考查利用拉格朗日乘数法求解条件极值问题，解题思路是先明确目标函数和约束条件，再构造拉格朗日函数，最后求解函数的极值点。

1. 确定目标函数：
   对于无盖长方体水箱，其表面积由一个底面和四个侧面组成。底面面积为$xy$，四个侧面面积分别为$2yz$和$2zx$，所以目标函数为表面积$A = xy + 2(yz + zx)$，故选项B正确。
2. 确定约束条件：
   已知水箱体积为定数$k$，根据长方体体积公式$V = xyz$，可得约束条件为$xyz = k$，而不是$xyz + k = 0$，所以选项D错误。
3. 构造拉格朗日函数：
   设拉格朗日函数$L(x,y,z)$，它由目标函数和约束条件组成，形式为$L(x,y,z)=$目标函数$+\lambda\times$约束条件，所以构造的拉格朗日函数为$L(x,y,z)=xy + 2(yz + zx) + \lambda(xyz - k)$，故选项A正确。
4. 求解表面积最小时的尺寸及最小表面积：
   对拉格朗日函数$L(x,y,z)$分别求关于$x$、$y$、$z$、$\lambda$的偏导数，并令其为$0$：
   • $\frac{\partial L}{\partial x}=y + 2z + \lambda yz = 0$ ①；
   • $\frac{\partial L}{\partial y}=x + 2z + \lambda xz = 0$ ②；
   • $\frac{\partial L}{\partial z}=2y + 2x + \lambda xy = 0$ ③；
   • $\frac{\partial L}{\partial \lambda}=xyz - k = 0$ ④。
     由①得$\lambda = -\frac{y + 2z}{yz}$，由②得$\lambda = -\frac{x + 2z}{xz}$，由③得$\lambda = -\frac{2y + 2x}{xy}$。
     则$-\frac{y + 2z}{yz}=-\frac{x + 2z}{xz}$，化简可得$x(y + 2z)=y(x + 2z)$，即$xy + 2xz = xy + 2yz$，所以$x = y$。
     同理，由$-\frac{x + 2z}{xz}=-\frac{2y + 2x}{xy}$，将$x = y$代入可得$x = 2z$。
     把$x = y = 2z$代入④式$xyz - k = 0$，可得$2z\times 2z\times z - k = 0$，即$4z^3 = k$，解得$z = \frac{1}{2}\sqrt[3]{2k}$。
     那么$x = y = 2z = \sqrt[3]{2k}$。
     将$x = y = \sqrt[3]{2k}$，$z = \frac{1}{2}\sqrt[3]{2k}$代入目标函数$A = xy + 2(yz + zx)$可得：
     $\begin{align*} A&=\sqrt[3]{2k}\times\sqrt[3]{2k}+2(\sqrt[3]{2k}\times\frac{1}{2}\sqrt[3]{2k}+\frac{1}{2}\sqrt[3]{2k}\times\sqrt[3]{2k})\\ &= \sqrt[3]{4k^2}+2(\frac{1}{2}\sqrt[3]{4k^2}+\frac{1}{2}\sqrt[3]{4k^2})\\ &= \sqrt[3]{4k^2}+2\times\sqrt[3]{4k^2}\\ &= 3\sqrt[3]{4k^2} \end{align*}$
     所以当$x = y = \sqrt[3]{2k}$，$z = \frac{1}{2}\sqrt[3]{2k}$时表面积最小为$3\sqrt[3]{4k^2}$，选项C正确。