函数 u=sin x sin y sin z 满足 x + y + z = (pi)/(2) (x > 0, y > 0, z > 0)的条件极值是(）.A. 1B. 0C. (1)/(6)D. (1)/(8)

本题考查条件极值的求解，可使用拉格朗日乘数法来求解函数在给定约束条件下的极值。

1. 构造拉格朗日函数：
   设$F(x,y,z,\lambda)=\sin x\sin y\sin z+\lambda(x + y + z - \frac{\pi}{2})$。
2. 求偏导数并令其为$0$：
   • 对$x$求偏导数：
     $F_{x}=\cos x\sin y\sin z+\lambda = 0$ ①；
   • 对$y$求偏导数：
     $F_{y}=\sin x\cos y\sin z+\lambda = 0$ ②；
   • 对$z$求偏导数：
     $F_{z}=\sin x\sin y\cos z+\lambda = 0$ ③；
   • 对$\lambda$求偏导数：
     $F_{\lambda}=x + y + z - \frac{\pi}{2}= 0$ ④。
3. 求解方程组：
   由①$-$②可得：
   $\cos x\sin y\sin z - \sin x\cos y\sin z = 0$，
   提取公因式$\sin z$得：$\sin z(\cos x\sin y - \sin x\cos y)=0$，
   根据两角差的正弦公式$\sin(A - B)=\sin A\cos B - \cos A\sin B$，上式可化为$\sin z\sin(y - x)=0$。
   因为$x\gt0,y\gt0,z\gt0$且$x + y + z = \frac{\pi}{2}$，所以$\sin z\neq0$，则$\sin(y - x)=0$，即$y - x = 0$，$y = x$。
   同理，由②$-$③可得$\sin x\sin(z - y)=0$，因为$\sin x\neq0$，所以$\sin(z - y)=0$，即$z - y = 0$，$z = y$。
   所以$x = y = z$，将其代入④式可得：
   $x + x + x - \frac{\pi}{2}= 0$，
   $3x = \frac{\pi}{2}$，
   解得$x = y = z = \frac{\pi}{6}$。
4. 求条件极值：
   将$x = y = z = \frac{\pi}{6}$代入函数$u=\sin x\sin y\sin z$可得：
   $u=\sin\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{6}\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$。