y'' = e^-x 的通解为 y = ( ).A. -e^-xB. e^-xC. e^-x + C_1 x + C_2D. -e^-x + C_1 x + C_2

本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的求解，解题思路是通过对给定的二阶导数方程进行两次积分来得到原函数的通解。

第一步：对$y'' = e^{-x}$进行第一次积分求$y'$

根据不定积分的运算法则$\int e^{ax}dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C$（$a\neq0$），对$y'' = e^{-x}$两边同时积分可得：
$y'=\int y''dx=\int e^{-x}dx$
令$a = -1$，则$\int e^{-x}dx=-\ e^{-x}+C_1$，所以$y'=-e^{-x}+C_1$。

第二步：对$y'$进行第二次积分求$y$

对$y'=-e^{-x}+C_1$两边同时积分可得：
$y=\int y'dx=\int (-e^{-x}+C_1)dx$
根据积分的加法法则$\int (f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$，则有：
$y=\int (-e^{-x})dx+\int C_1dx$
对于$\int (-e^{-x})dx$，令$a = -1$，可得$\int (-e^{-x})dx=e^{-x}+C$；对于$\int C_1dx$，根据$\int kdx=kx+C$（$k$为常数），可得$\int C_1dx = C_1x+C$。
所以$y=e^{-x}+C_1x+C_2$，其中$C_1$、$C_2$为任意常数。