题目

已知标量场u(x,y,z)=x^3y-y^2z+2xz^2，矢量场vec(H)(x,y,z)=xyvec(e)_(x)+yzvec(e)_(y)+zxvec(e)_(z)，试完成以下运算：1).计算标量场u的梯度∇u；2).计算矢量场vec(H)的散度∇·vec(H)；3).计算∇·(∇u)。

已知标量场 $u(x,y,z)=x^{3}y-y^{2}z+2xz^{2}$，矢量场 $\vec{H}(x,y,z)=xy\vec{e}_{x}+yz\vec{e}_{y}+zx\vec{e}_{z}$，试完成以下运算： 1).计算标量场u的梯度∇u； 2).计算矢量场$\vec{H}$的散度∇·$\vec{H}$； 3).计算∇·(∇u)。

题目解答

答案

  1. 梯度计算
    $ u(x, y, z) = x^3y - y^2z + 2xz^2 $
    $\nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right) = (3x^2y + 2z^2, x^3 - 2yz, -y^2 + 4xz)$
    答案：
    $\boxed{(3x^2y + 2z^2) \vec{e}_x + (x^3 - 2yz) \vec{e}_y + (-y^2 + 4xz) \vec{e}_z}$

  2. 散度计算
    $ \vec{H}(x, y, z) = xy \vec{e}_x + yz \vec{e}_y + zx \vec{e}_z $
    $\nabla \cdot \vec{H} = \frac{\partial H_x}{\partial x} + \frac{\partial H_y}{\partial y} + \frac{\partial H_z}{\partial z} = y + z + x = x + y + z$
    答案：
    $\boxed{x + y + z}$

  3. 拉普拉斯算子计算
    $\nabla \cdot (\nabla u) = \nabla^2 u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 6xy - 2z + 4x$
    答案：
    $\boxed{6xy - 2z + 4x}$

解析

本题主要考查标量场的梯度、矢量场的散度以及拉普拉斯算子的计算。解题思路如下：

  1. 计算标量场 $u$ 的梯度 $\nabla u$：
    • 梯度的定义为 $\nabla u=\left(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z}\right)$，即分别对 $u(x,y,z)$ 关于 $x$、$y$、$z$ 求偏导数。
    • 对 $u(x,y,z)=x^{3}y - y^{2}z + 2xz^{2}$ 求偏导数：
      • 对 $x$ 求偏导数时，将 $y$ 和 $z$ 看作常数，根据求导公式 $(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，可得 $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{3}y - y^{2}z + 2xz^{2})=3x^{2}y+2z^{2}$。
      • 对 $y$ 求偏导数时，将 $x$ 和 $z$ 看作常数，可得 $\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{3}y - y^{2}z + 2xz^{2})=x^{3}-2yz$。
      • 对 $z$ 求偏导数时，将 $x$ 和 $y$ 看作常数，可得 $\frac{\partial u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(x^{3}y - y^{2}z + 2xz^{2})=-y^{2}+4xz$。
    • 所以 $\nabla u=(3x^{2}y + 2z^{2})\vec{e}_{x}+(x^{3}-2yz)\vec{e}_{y}+(-y^{2}+4xz)\vec{e}_{z}$。
  2. 计算矢量场 $\vec{H}$ 的散度 $\nabla\cdot\vec{H}$：
    • 散度的定义为 $\nabla\cdot\vec{H}=\frac{\partial H_{x}}{\partial x}+\frac{\partial H_{y}}{\partial y}+\frac{\partial H_{z}}{\partial z}$，其中 $H_{x}=xy$，$H_{y}=yz$，$H_{z}=zx$。
    • 分别求偏导数：
      • $\frac{\partial H_{x}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(xy)=y$。
      • $\frac{\partial H_{y}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(yz)=z$。
      • $\frac{\partial H_{z}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(zx)=x$。
    • 所以 $\nabla\cdot\vec{H}=y + z + x=x + y + z$。
  3. 计算 $\nabla\cdot(\nabla u)$：
    • 由前面计算可知 $\nabla u=(3x^{2}y + 2z^{2})\vec{e}_{x}+(x^{3}-2yz)\vec{e}_{y}+(-y^{2}+4xz)\vec{e}_{z}$，则 $\nabla\cdot(\nabla u)=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}$。
    • 先求二阶偏导数：
      • $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}(3x^{2}y + 2z^{2}) = 6xy$。
      • $\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{3}-2yz)=-2z$。
      • $\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=\frac{\partial}{\partial z}(-y^{2}+4xz)=4x$。
    • 所以 $\nabla\cdot(\nabla u)=6xy-2z + 4x$。