题目

7.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f( x,y ) =}k, & 0 < x < 1,0 < y < x, 0, & 其他,试确定常数k，并求E(XY).

7.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 $f( x,y ) =\begin{cases}k, & 0 < x < 1,0 < y < x, \\0, & 其他,\end{cases}$ 试确定常数k，并求E(XY).

题目解答

答案

  1. 确定常数 $k$
    由概率密度函数的归一性，有
    $\iint_{\mathbb{R}^2} f(x, y) \, dx \, dy = 1$
    在区域 $0 < x < 1$，$0 < y < x$ 内，$f(x, y) = k$，故
    $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} k \, dy \, dx = \int_{0}^{1} kx \, dx = \frac{k}{2} = 1 \implies k = 2$

  2. 计算 $E(XY)$
    由期望公式，
    $E(XY) = \iint_{\mathbb{R}^2} xy f(x, y) \, dx \, dy$
    代入 $f(x, y) = 2$，得
    $E(XY) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} 2xy \, dy \, dx = \int_{0}^{1} x^3 \, dx = \frac{1}{4}$

答案：
常数 $k$ 为 $\boxed{2}$，$E(XY)$ 为 $\boxed{\frac{1}{4}}$。

解析

本题主要考查二维随机变量概率密度函数的性质以及数学期望的计算。解题思路如下：

  1. 确定常数 $k$：
    • 根据二维随机变量概率密度函数的归一性，即$\iint_{\mathbb{R}^2} f(x, y) \, dx \, dy = 1$。
    • 已知$f(x,y)$在区域$0 < x < 1$，$0 < y < x$内取值为$k$，在其他区域取值为$0$，所以只需对该区域进行积分。
    • 先对$y$积分，此时$x$看作常数，积分区间为$[0,x]$，则$\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} k \, dy \, dx$。
    • 计算内层积分$\int_{0}^{x} k \, dy$，根据积分公式$\int a \, dy=ay+C$（$a$为常数）可得：$\int_{0}^{x} k \, dy=k\cdot y\big|_{0}^{x}=kx - k\cdot0 = kx$。
    • 再计算外层积分$\int_{0}^{1} kx \, dx$，根据积分公式$\int x^n \, dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C$（$n\neq -1$）可得：$\int_{0}^{1} kx \, dx=k\cdot\frac{1}{2}x^2\big|_{0}^{1}=\frac{k}{2}(1^2 - 0^2)=\frac{k}{2}$。
    • 因为$\iint_{\mathbb{R}^2} f(x, y) \, dx \, dy = 1$，所以$\frac{k}{2}=1$，解得$k = 2$。
  2. 计算 $E(XY)$：
    • 根据二维随机变量函数的数学期望公式$E(XY) = \iint_{\mathbb{R}^2} xy f(x, y) \, dx \, dy$。
    • 已知$k = 2$，则$f(x,y)$在区域$0 < x < 1$，$0 < y < x$内取值为$2$，在其他区域取值为$0$，所以$E(XY) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} 2xy \, dy \, dx$。
    • 先对$y$积分，此时$x$看作常数，积分区间为$[0,x]$，则$\int_{0}^{x} 2xy \, dy$，根据积分公式$\int ay \, dy=\frac{1}{2}ay^2+C$（$a$为常数）可得：$\int_{0}^{x} 2xy \, dy=2x\cdot\frac{1}{2}y^2\big|_{0}^{x}=x\cdot(x^2 - 0^2)=x^3$。
    • 再计算外层积分$\int_{0}^{1} x^3 \, dx$，根据积分公式$\int x^n \, dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C$（$n\neq -1$）可得：$\int_{0}^{1} x^3 \, dx=\frac{1}{4}x^4\big|_{0}^{1}=\frac{1}{4}(1^4 - 0^4)=\frac{1}{4}$。