求由曲面 =(x)^2+2(y)^2 及 =6-2(x)^2-(y)^2 所围成的立体的-|||-体积.

本题考查利用二重积分求空间立体的体积。解题思路如下：

1. 首先，要求出两个曲面的交线在$xOy$平面上的投影区域$D$。通过联立两个曲面方程消去$z$，得到交线方程，进而确定投影区域$D$的范围。
2. 然后，根据二重积分求体积的公式$V=\iint_{D} [f(x,y)-g(x,y)]dxdy$（其中$f(x,y)$是上顶面的方程，$g(x,y)$是下顶面的方程），确定被积函数。
3. 最后，将二重积分化为累次积分进行计算，在计算过程中可能需要利用换元法简化积分计算。

详细计算过程

1. 求交线在$xOy$平面上的投影区域$D$
   联立两个曲面方程$\begin{cases}z = x^{2}+2y^{2}\\z = 6 - 2x^{2}-y^{2}\end{cases}$，消去$z$可得：
   $x^{2}+2y^{2}=6 - 2x^{2}-y^{2}$
   移项化简得：
   $3x^{2}+3y^{2}=6$，即$x^{2}+y^{2}=2$
   所以交线所围平面区域$D$是$xOy$平面上的圆$x^{2}+y^{2}\leqslant 2$。
2. 确定被积函数并列出体积的二重积分表达式
   已知上顶面方程$z_{上}=6 - 2x^{2}-y^{2}$，下顶面方程$z_{下}=x^{2}+2y^{2}$，根据体积公式可得所求体积为：
   $V=\iint_{D}[(6 - 2x^{2}-y^{2})-(x^{2}+2y^{2})]dxdy=\iint_{D}(6 - 3x^{2}-3y^{2})dxdy$
3. 将二重积分化为累次积分
   利用极坐标变换$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dxdy = rdr d\theta$，且$x^{2}+y^{2}=r^{2}$。
   区域$D$在极坐标下表示为$0\leqslant r\leqslant\sqrt{2}$，$0\leqslant\theta\leqslant 2\pi$，则体积$V$可化为：
   $V=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\sqrt{2}}(6 - 3r^{2})r dr$
   先计算内层积分$\int_{0}^{\sqrt{2}}(6 - 3r^{2})r dr=\int_{0}^{\sqrt{2}}(6r - 3r^{3})dr$
   根据积分公式$\int x^{n}dx=\frac{1}{n + 1}x^{n+1}+C(n\neq - 1)$可得：
   $\int_{0}^{\sqrt{2}}(6r - 3r^{3})dr=\left[3r^{2}-\frac{3}{4}r^{4}\right]_{0}^{\sqrt{2}}=3\times(\sqrt{2})^{2}-\frac{3}{4}\times(\sqrt{2})^{4}=6 - 3 = 3$
   再计算外层积分$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\sqrt{2}}(6 - 3r^{2})r dr=\int_{0}^{2\pi}3d\theta=3\times2\pi = 6\pi$