eta_0 是非齐次线性方程组 AX=b 的一个特解，xi_1, xi_2, ldots, xi_s 是该方程组的一个基础解系，则 2eta_0 + xi_1 + 2xi_2 + ... + sxi_s 是该方程组的解.A. 对B. 错

本题考查非齐次线性方程组解的性质。解题的关键在于明确非齐次线性方程组解的结构，即非齐次线性方程组的通解等于它的一个特解加上对应的齐次线性方程组的通解，并且要掌握非齐次线性方程组解的判定方法，即若向量是方程组的解，则将其代入方程组等式应成立。

已知$\eta_0$是非齐次线性方程组$AX = b$的一个特解，所以$A\eta_0 = b$；$\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_s$是该方程组对应的齐次线性方程组$AX = 0$的一个基础解系，那么$A\xi_i = 0$（$i = 1,2,\cdots,s$）。

下面来判断$2\eta_0 + \xi_1 + 2\xi_2 + \cdots + s\xi_s$是否为方程组$AX = b$的解，将其代入方程左边可得：

$A(2\eta_0 + \xi_1 + 2\xi_2 + \cdots + s\xi_s)$

根据矩阵乘法的分配律$A(\alpha+\beta)=A\alpha + A\beta$，上式可展开为：

$A(2\eta_0)+A(\xi_1)+A(2\xi_2)+\cdots +A(s\xi_s)$

再根据矩阵乘法的数乘性质$A(k\alpha)=kA\alpha$，进一步展开为：

$2A\eta_0 + A\xi_1 + 2A\xi_2 + \cdots + sA\xi_s$

把$A\eta_0 = b$，$A\xi_i = 0$（$i = 1,2,\cdots,s$）代入上式可得：

$2b + 0 + 2\times0 + \cdots + s\times0=2b\neq b$

所以$2\eta_0 + \xi_1 + 2\xi_2 + \cdots + s\xi_s$不是方程组$AX = b$的解。