题目

208.(2019.河北二)求曲线y=x^2-8与直线2x+y+8=0，y=-4所围成图形的面积

208.(2019.河北二)求曲线$y=x^{2}-8$与直线2x+y+8=0，y=-4所围成图形的面积

题目解答

答案

  1. 求交点：

    • 曲线 $ y = x^2 - 8 $ 与直线 $ y = -4 $ 交于 $ (-2, -4) $ 和 $ (2, -4) $。
    • 曲线 $ y = x^2 - 8 $ 与直线 $ y = -2x - 8 $ 交于 $ (-2, -4) $ 和 $ (0, -8) $。
    • 直线 $ y = -2x - 8 $ 与直线 $ y = -4 $ 交于 $ (-2, -4) $。

  2. 确定积分区域：

    • 从 $ x = -2 $ 到 $ x = 0 $，区域在 $ y = -2x - 8 $ 和 $ y = x^2 - 8 $ 之间。
    • 从 $ x = 0 $ 到 $ x = 2 $，区域在 $ y = -4 $ 和 $ y = x^2 - 8 $ 之间。

  3. 计算面积：
    $\text{面积} = \int_{-2}^{0} \left[ (-2x - 8) - (x^2 - 8) \right] \, dx + \int_{0}^{2} \left[ (-4) - (x^2 - 8) \right] \, dx$
    $= \int_{-2}^{0} (-2x - x^2) \, dx + \int_{0}^{2} (-x^2 + 4) \, dx = \frac{4}{3} + \frac{16}{3} = \frac{20}{3}$

答案：$\boxed{\frac{20}{3}}$

解析

本题考查利用定积分求平面图形的面积。解题的关键思路是先求出曲线与直线的交点，从而确定积分区间，再根据不同区间内图形的上下边界确定被积函数，最后通过定积分计算面积。

  1. 求交点：
    • 联立曲线$y = x^2 - 8$与直线$y = -4$的方程$\begin{cases}y = x^2 - 8\\y = -4\end{cases}$，将$y = -4$代入$y = x^2 - 8$可得：
      $-4 = x^2 - 8$，移项得到$x^2 = 4$，解得$x = \pm 2$，所以交点坐标为$(-2, -4)$和$(2, -4)$。
    • 联立曲线$y = x^2 - 8$与直线$2x + y + 8 = 0$（即$y = -2x - 8$）的方程$\begin{cases}y = x^2 - 8\\y = -2x - 8\end{cases}$，将$y = -2x - 8$代入$y = x^2 - 8$可得：
      $-2x - 8 = x^2 - 8$，移项得到$x^2 + 2x = 0$，提取公因式$x$得$x(x + 2) = 0$，解得$x = 0$或$x = -2$。
      当$x = 0$时，$y = -2\times 0 - 8 = -8$；当$x = -2$时，$y = -2\times (-2) - 8 = -4$，所以交点坐标为$(-2, -4)$和$(0, -8)$。
    • 联立直线$y = -2x - 8$与直线$y = -4$的方程$\begin{cases}y = -2x - 8\\y = -4\end{cases}$，将$y = -4$代入$y = -2x - 8$可得：
      $-4 = -2x - 8$，移项得到$2x = -4$，解得$x = -2$，所以交点坐标为$(-2, -4)$。
  2. 确定积分区域：
    • 从$x = -2$到$x = 0$，直线$y = -2x - 8$在曲线$y = x^2 - 8$的上方，所以该区间内图形的面积由$\int_{-2}^{0} [(-2x - 8) - (x^2 - 8)]dx$计算。
    • 从$x = 0$到$x = 2$，直线$y = -4$在曲线$y = x^2 - 8$的上方，所以该区间内图形的面积由$\int_{0}^{2} [(-4) - (x^2 - 8)]dx$计算。
  3. 计算面积：
    • 计算$\int_{-2}^{0} (-2x - x^2)dx$：
      根据定积分的运算法则$\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x)dx-\int_{a}^{b}g(x)dx$，可得$\int_{-2}^{0} (-2x - x^2)dx = \int_{-2}^{0} (-2x)dx - \int_{-2}^{0} x^2dx$。
      根据定积分公式$\int x^n dx = \frac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C$（$n\neq -1$），则$\int_{-2}^{0} (-2x)dx = -2\times\frac{1}{2}x^2\big|_{-2}^{0} = -x^2\big|_{-2}^{0} = -(0^2 - (-2)^2) = 4$；$\int_{-2}^{0} x^2dx = \frac{1}{3}x^3\big|_{-2}^{0} = \frac{1}{3}(0^3 - (-2)^3) = \frac{8}{3}$。
      所以$\int_{-2}^{0} (-2x - x^2)dx = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$。
    • 计算$\int_{0}^{2} (-x^2 + 4)dx$：
      同理可得$\int_{0}^{2} (-x^2 + 4)dx = \int_{0}^{2} (-x^2)dx + \int_{0}^{2} 4dx$。
      $\int_{0}^{2} (-x^2)dx = -\frac{1}{3}x^3\big|_{0}^{2} = -\frac{1}{3}(2^3 - 0^3) = -\frac{8}{3}$；$\int_{0}^{2} 4dx = 4x\big|_{0}^{2} = 4\times(2 - 0) = 8$。
      所以$\int_{0}^{2} (-x^2 + 4)dx = -\frac{8}{3} + 8 = \frac{16}{3}$。
    • 则所求图形的面积为$\int_{-2}^{0} (-2x - x^2)dx + \int_{0}^{2} (-x^2 + 4)dx = \frac{4}{3} + \frac{16}{3} = \frac{20}{3}$。