20.判断题任一向量组均有最大无关组A. 对B. 错

本题考查向量组最大无关组的相关知识。解题思路是依据向量组最大无关组的定义和性质来判断该命题的正确性。

详细解析

• 首先明确向量组最大无关组的定义：设向量组$A$，如果在$A$中能选出$r$个向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$，满足：
  • 向量组$A_0:\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$线性无关；
  • 向量组$A$中任意$r + 1$个向量（如果$A$中有$r + 1$个向量的话）都线性相关。
    那么称向量组$A_0$是向量组$A$的一个最大无关组。
• 对于任意一个向量组，分两种情况讨论：
  • 若向量组只含有零向量，此时规定零向量组的最大无关组是不含任何向量的空组，因为空组是线性无关的，并且任意添加一个零向量就会使向量组线性相关，满足最大无关组的定义。
  • 若向量组含有非零向量，从向量组中任取一个非零向量$\alpha_1$，若向量组中所有向量都可由$\alpha_1$线性表示，则$\{\alpha_1\}$就是该向量组的最大无关组；若存在向量$\alpha_2$不能由$\alpha_1$线性表示，则$\{\alpha_1,\alpha_2\}$线性无关，继续这个过程，由于向量组中向量的个数是有限的，最终一定能找到一个满足最大无关组定义的部分组。

综上，任一向量组均有最大无关组，该命题正确。