题目

2.设F_(1)(x)与F_(2)(x)分别为随机变量X_(1)与X_(2)的分布函数，f_(1)(x)与f_(2)(x)分别为X_(1)与X_(2)的概 率密度函数，则下列函数能作为某随机变量概率密度函数的是____.A.af_(1)(x)+(1-a)f_(2)(x) B.[F_(1)(x)f_(1)(x)+F_(2)(x)f_(2)(x)]/2C.sqrt(f_(1)(x)f_{2)(x)} D.[f_(1)(x)+f_(2)(x)]/2

2.设$F_{1}(x)$与$F_{2}(x)$分别为随机变量$X_{1}$与$X_{2}$的分布函数，$f_{1}(x)$与$f_{2}(x)$分别为$X_{1}$与$X_{2}$的概 率密度函数，则下列函数能作为某随机变量概率密度函数的是____. A.$af_{1}(x)+(1-a)f_{2}(x)$ B.$[F_{1}(x)f_{1}(x)+F_{2}(x)f_{2}(x)]/2$ C.$\sqrt{f_{1}(x)f_{2}(x)}$ D.$[f_{1}(x)+f_{2}(x)]/2$

题目解答

答案

答案：D

解析：

A. $af_1(x) + (1-a)f_2(x)$

  • 非负性：若 $a < 0$ 或 $a > 1$，可能为负，不满足非负性。
  • 归一性：若 $0 \leq a \leq 1$，积分等于1，但题目未给定 $a$ 范围，无法保证。

B. $\frac{F_1(x)f_1(x) + F_2(x)f_2(x)}{2}$

  • 非负性：$F_1(x)$ 和 $F_2(x)$ 值在0到1之间，与非负的 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 相乘后非负，满足非负性。
  • 归一性：积分结果为 $\frac{1}{2}$，不满足归一性。

C. $\sqrt{f_1(x)f_2(x)}$

  • 非负性：满足非负性。
  • 归一性：积分结果不一定等于1，不满足归一性。

D. $\frac{f_1(x) + f_2(x)}{2}$

  • 非负性：满足非负性。
  • 归一性：积分结果等于1，满足归一性。

结论：
选项D满足概率密度函数的两个条件，正确答案为 $\boxed{D}$。

解析

本题考查随机变量概率密度函数的性质，要判断一个函数能否作为某随机变量的概率密度函数，需同时满足两个条件：非负性，即函数值恒大于等于 0；归一性，即函数在整个定义域上的积分值为 1。下面我们对每个选项逐一进行分析：

  • 选项A：$af_{1}(x)+(1 - a)f_{2}(x)$
    • 非负性：已知$f_{1}(x)$与$f_{2}(x)$分别为随机变量$X_{1}$与$X_{2}$的概率密度函数，所以$f_{1}(x)\geq0$，$f_{2}(x)\geq0$。但当$a < 0$或$a > 1$时，$af_{1}(x)+(1 - a)f_{2}(x)$可能小于 0，不满足概率密度函数的非负性要求。
    • 归一性：若$0\leq a\leq1$，对$\int_{-\infty}^{+\infty}[af_{1}(x)+(1 - a)f_{2}(x)]dx$进行计算，根据积分的线性性质可得：
      $\int_{-\infty}^{+\infty}[af_{1}(x)+(1 - a)f_{2}(x)]dx=a\int_{-\infty}^{+\infty}f_{1}(x)dx+(1 - a)\int_{-\infty}^{+\infty}f_{2}(x)dx$
      因为$f_{1}(x)$与$f_{2}(x)$是概率密度函数，所以$\int_{-\infty}^{+\infty}f_{1}(x)dx = 1$，$\int_{-\infty}^{+\infty}f_{2}(x)dx = 1$，则上式$=a\times1+(1 - a)\times1=a + 1 - a = 1$。然而题目未给定$a$的范围，所以无法保证该函数满足归一性。
  • 选项B：$\frac{F_{1}(x)f_{1}(x)+F_{2}(x)f_{2}(x)}{2}$
    • 非负性：由于$F_{1}(x)$与$F_{2}(x)$分别为随机变量$X_{1}$与$X_{2}$的分布函数，所以$0\leq F_{1}(x)\leq1$，$0\leq F_{2}(x)\leq1$，又因为$f_{1}(x)\geq0$，$f_{2}(x)\geq0$，那么$F_{1}(x)f_{1}(x)\geq0$，$F_{2}(x)f_{2}(x)\geq0$，所以$\frac{F_{1}(x)f_{1}(x)+F_{2}(x)f_{2}(x)}{2}\geq0$，满足非负性。
    • 归一性：对$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{F_{1}(x)f_{1}(x)+F_{2}(x)f_{2}(x)}{2}dx$进行计算，根据积分的线性性质可得：
      $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{F_{1}(x)f_{1}(x)+F_{2}(x)f_{2}(x)}{2}dx=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}F_{1}(x)f_{1}(x)dx+\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}F_{2}(x)f_{2}(x)dx$
      利用分部积分法$\int_{-\infty}^{+\infty}F_{i}(x)f_{i}(x)dx=\left[\frac{1}{2}F_{i}^{2}(x)\right]_{-\infty}^{+\infty}=\frac{1}{2}(1^{2}-0^{2})=\frac{1}{2}$（$i = 1,2$），则$\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}F_{1}(x)f_{1}(x)dx+\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}F_{2}(x)f_{2}(x)dx=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\neq1$，不满足归一性。
  • 选项C：$\sqrt{f_{1}(x)f_{2}(x)}$
    • 非负性：因为$f_{1}(x)\geq0$，$f_{2}(x)\geq0$，所以$\sqrt{f_{1}(x)f_{2}(x)}\geq0$，满足非负性。
    • 归一性：$\int_{-\infty}^{+\infty}\sqrt{f_{1}(x)f_{2}(x)}dx$的值不一定等于 1，不满足归一性。
  • 选项D：$\frac{f_{1}(x)+f_{2}(x)}{2}$
    • 非负性：由于$f_{1}(x)\geq0$，$f_{2}(x)\geq0$，所以$\frac{f_{1}(x)+f_{2}(x)}{2}\geq0$，满足非负性。
    • 归一性：对$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{f_{1}(x)+f_{2}(x)}{2}dx$进行计算，根据积分的线性性质可得：
      $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{f_{1}(x)+f_{2}(x)}{2}dx=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}f_{1}(x)dx+\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}f_{2}(x)dx$
      因为$\int_{-\infty}^{+\infty}f_{1}(x)dx = 1$，$\int_{-\infty}^{+\infty}f_{2}(x)dx = 1$，所以$\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}f_{1}(x)dx+\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}f_{2}(x)dx=\frac{1}{2}\times1+\frac{1}{2}\times1 = 1$，满足归一性。