题目

4.设A,B,C为随机事件,且A,C互不相容,P(AB)=(1)/(2),P(C)=(1)/(3),求P(AB|overline(C)).

4.设A,B,C为随机事件,且A,C互不相容,$P(AB)=\frac{1}{2},P(C)=\frac{1}{3}$,求$P(AB|\overline{C})$.

题目解答

答案

由题意，$ A $ 和 $ C $ 互不相容，即 $ P(AC) = 0 $。已知 $ P(AB) = \frac{1}{2} $，$ P(C) = \frac{1}{3} $。
求 $ P(AB|\overline{C}) $，其中 $ \overline{C} $ 为 $ C $ 的补集，$ P(\overline{C}) = 1 - P(C) = \frac{2}{3} $。
利用条件概率公式：
$P(AB|\overline{C}) = \frac{P(AB \cap \overline{C})}{P(\overline{C})}$
由于 $ A $ 和 $ C $ 互不相容，$ P(AB \cap C) = 0 $，故 $ P(AB \cap \overline{C}) = P(AB) = \frac{1}{2} $。
代入得：
$P(AB|\overline{C}) = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{4}$
答案： $\boxed{\frac{3}{4}}$

解析

本题考查条件概率公式以及互不相容事件的性质。解题的关键在于利用互不相容事件的性质化简$P(AB \cap \overline{C})$，再结合条件概率公式进行计算。

  1. 首先，根据互不相容事件的定义：
    已知$A$和$C$互不相容，即$A\cap C = \varnothing$，根据概率的基本性质，可得$P(AC)=0$。
  2. 然后，计算$P(\overline{C})$：
    因为$\overline{C}$为$C$的补集，根据补集概率公式$P(\overline{C}) = 1 - P(C)$，已知$P(C)=\frac{1}{3}$，所以$P(\overline{C}) = 1 - \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。
  3. 接着，化简$P(AB \cap \overline{C})$：
    由于$AB\cap C=(A\cap C)\cap B$，而$A\cap C = \varnothing$，那么$(A\cap C)\cap B=\varnothing\cap B=\varnothing$，所以$P(AB\cap C)=0$。
    又因为$AB=(AB\cap C)\cup(AB\cap \overline{C})$，且$(AB\cap C)\cap(AB\cap \overline{C})=\varnothing$，根据概率的加法公式$P(AB)=P(AB\cap C)+P(AB\cap \overline{C})$，将$P(AB\cap C)=0$代入可得$P(AB\cap \overline{C}) = P(AB)$，已知$P(AB)=\frac{1}{2}$，所以$P(AB\cap \overline{C})=\frac{1}{2}$。
  4. 最后，根据条件概率公式计算$P(AB|\overline{C})$：
    条件概率公式为$P(AB|\overline{C}) = \frac{P(AB \cap \overline{C})}{P(\overline{C})}$，将$P(AB\cap \overline{C})=\frac{1}{2}$和$P(\overline{C})=\frac{2}{3}$代入可得：
    $P(AB|\overline{C}) = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}}=\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$