函数项级数 sum_(n=1)^infty x^n 在区间 (-1,1) 上A. 不收敛B. 一致收敛到 (x)/(1-x)C. 一致收敛到 (1)/(1-x)D. 收敛但不一致收敛

本题考查函数项级数的收敛性与一致收敛性的判断。解题思路是先判断函数项级数在给定区间上的收敛性，再通过一致收敛的定义或判别法判断其是否一致收敛。

1. 判断函数项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} x^n$ 在区间 $(-1,1)$ 上的收敛性

函数项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} x^n$ 是一个等比级数，公比为 $x$。
根据等比级数的收敛性质，当公比的绝对值 $|x|\lt 1$ 时，等比级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} x^n$ 收敛。
已知区间为 $(-1,1)$，在此区间内 $|x|\lt 1$，所以函数项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} x^n$ 在区间 $(-1,1)$ 上收敛。
由等比级数求和公式 $S_n=\frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$（其中 $a_1$ 为首项，$q$ 为公比），对于 $\sum_{n = 1}^{\infty} x^n$，$a_1 = x$，$q = x$，则其部分和函数 $S_n=\sum_{k = 1}^{n} x^k=\frac{x(1 - x^n)}{1 - x}$。
当 $n\to\infty$ 且 $|x|\lt 1$ 时，$\lim_{n\to\infty}x^n = 0$，所以 $\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\frac{x(1 - x^n)}{1 - x}=\frac{x}{1 - x}$，即函数项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} x^n$ 在区间 $(-1,1)$ 上收敛到 $\frac{x}{1 - x}$。

2. 判断函数项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} x^n$ 在区间 $(-1,1)$ 上的一致收敛性

根据一致收敛的定义，函数项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_n(x)$ 在区间 $I$ 上一致收敛于 $S(x)$ 的充要条件是 $\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}|R_n(x)| = 0$，其中 $R_n(x)=S(x)-S_n(x)$ 为余项。
对于函数项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} x^n$，$S(x)=\frac{x}{1 - x}$，$S_n(x)=\frac{x(1 - x^n)}{1 - x}$，则余项 $R_n(x)=S(x)-S_n(x)=\frac{x}{1 - x}-\frac{x(1 - x^n)}{1 - x}=\frac{x^{n + 1}}{1 - x}$。
求 $\sup_{x\in (-1,1)}|R_n(x)|$，即求 $|R_n(x)|=\left|\frac{x^{n + 1}}{1 - x}\right|$ 在区间 $(-1,1)$ 上的上确界。
对 $y = \frac{x^{n + 1}}{1 - x}$ 求导，根据除法求导公式 $(u/v)^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$，其中 $u = x^{n + 1}$，$v = 1 - x$，则 $u^\prime=(n + 1)x^n$，$v^\prime=-1$，可得 $y^\prime=\frac{(n + 1)x^n(1 - x)+x^{n + 1}}{(1 - x)^2}=\frac{(n + 1)x^n-(n + 1)x^{n + 1}+x^{n + 1}}{(1 - x)^2}=\frac{(n + 1)x^n - nx^{n + 1}}{(1 - x)^2}=x^n\frac{n + 1 - nx}{(1 - x)^2}$。
令 $y^\prime = 0$，则 $x = 0$ 或 $n + 1 - nx = 0$，由 $n + 1 - nx = 0$ 可得 $x=\frac{n + 1}{n}=1+\frac{1}{n}\notin (-1,1)$。
当 $x\to 1^-$ 时，$\lim_{x\to 1^-}\left|\frac{x^{n + 1}}{1 - x}\right|=+\infty$，所以 $\sup_{x\in (-1,1)}|R_n(x)|=+\infty$，则 $\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in (-1,1)}|R_n(x)|\neq 0$，即函数项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} x^n$ 在区间 $(-1,1)$ 上不一致收敛。