题目

3.[判断题]判断题：2.球面z=sqrt(4-x^2)-y^(2)与锥面z=sqrt(3(x^2)+y^(2))的交线在xoy面上的投影方程为x^2+y^2=1,z=0bigcirc 1.对bigcirc 2.错4.[判断题]判断题：3.旋转抛物面z=x^2+y^2(0le zle 4)在xoy面上的投影为____，在yoz面上的投影为____.x^2+y^2le 4,z=0;y^2le zle 4,x=0.bigcirc 1.对bigcirc 2.错

3.[判断题]判断题： 2.球面$z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}$与锥面$z=\sqrt{3(x^{2}+y^{2})}$的交线在xoy面上的投影方程为$x^{2}+y^{2}=1,z=0$ $\bigcirc$ 1.对 $\bigcirc$ 2.错 4.[判断题]判断题： 3.旋转抛物面$z=x^{2}+y^{2}(0\le z\le 4)$在xoy面上的投影为____，在yoz面上的投影为____. $x^{2}+y^{2}\le 4,z=0;y^{2}\le z\le 4,x=0.$ $\bigcirc$ 1.对 $\bigcirc$ 2.错

题目解答

答案

题目1：
球面 $z = \sqrt{4 - x^2 - y^2}$ 与锥面 $z = \sqrt{3(x^2 + y^2)}$ 联立得：
$4 - x^2 - y^2 = 3(x^2 + y^2) \implies x^2 + y^2 = 1.$
交线在 $xoy$ 面投影（令 $z=0$）为：
$x^2 + y^2 = 1, \, z = 0.$
答案：对

题目2：
旋转抛物面 $z = x^2 + y^2$（$0 \leq z \leq 4$）在各面投影：

  • $xoy$ 面：令 $z=0$，得 $x^2 + y^2 \leq 4$，投影为 $x^2 + y^2 \leq 4, \, z=0$。
  • $yoz$ 面：令 $x=0$，得 $z = y^2$，投影为 $y^2 \leq z \leq 4, \, x=0$。

答案：对

$\boxed{\begin{array}{ll}1. & \text{对} \\2. & \text{对} \\\end{array}}$

解析

本题主要考查空间曲面交线在坐标面上的投影方程的求解。解题的关键在于通过联立曲面方程求出交线在坐标面上的投影柱面方程，再结合投影所在坐标面的特点得到投影方程。

第3题

  1. 首先，我们有球面方程$z = \sqrt{4 - x^2 - y^2}$和锥面方程$z = \sqrt{3(x^2 + y^2)}$。
  2. 因为交线上的点同时满足这两个方程，所以令两个方程的$z$相等，即$\sqrt{4 - x^2 - y^2}=\sqrt{3(x^2 + y^2)}$。
  3. 两边同时平方可得：$4 - x^2 - y^2 = 3(x^2 + y^2)$。
  4. 对上述方程进行化简：
    • 移项得到$4=3(x^2 + y^2)+x^2 + y^2$。
    • 合并同类项得$4 = 4(x^2 + y^2)$。
    • 两边同时除以$4$，解得$x^2 + y^2 = 1$，这就是交线关于$xOy$面的投影柱面方程。
  5. 交线在$xOy$面上的投影，需要令$z = 0$，所以交线在$xOy$面上的投影方程为$x^2 + y^2 = 1,z = 0$，故该判断题答案为“对”。

第4题

  1. 求旋转抛物面$z = x^2 + y^2(0\leq z\leq 4)$在$xOy$面上的投影：
    • 令$z = 0$，则方程变为$0=x^2 + y^2$，又因为$0\leq z\leq 4$，所以$x^2 + y^2\leq 4$。
    • 那么在$xOy$面上的投影为$x^2 + y^2\leq 4,z = 0$。
  2. 求旋转抛物面$z = x^2 + y^2(0\leq z\leq 4)$在$yOz$面上的投影：
    • 令$x = 0$，则方程变为$z = y^2$。
    • 结合$0\leq z\leq 4$，所以在$yOz$面上的投影为$y^2\leq z\leq 4,x = 0$。
    • 故该判断题答案为“对”。