题目
3、填空 设向量a=(1,-1,3)，b=(2,-1,2)，则c=3a-2b为____。
3、填空 设向量a={1,-1,3}，b={2,-1,2}，则c=3a-2b为____。
题目解答
答案
已知向量 $\mathbf{a} = \{1, -1, 3\}$，$\mathbf{b} = \{2, -1, 2\}$，求 $\mathbf{c} = 3\mathbf{a} - 2\mathbf{b}$。
首先，计算 $3\mathbf{a}$：
\[
3\mathbf{a} = 3 \times \{1, -1, 3\} = \{3, -3, 9\}
\]
接着，计算 $2\mathbf{b}$：
\[
2\mathbf{b} = 2 \times \{2, -1, 2\} = \{4, -2, 4\}
\]
然后，计算 $\mathbf{c} = 3\mathbf{a} - 2\mathbf{b}$：
\[
\mathbf{c} = \{3, -3, 9\} - \{4, -2, 4\} = \{-1, -1, 5\}
\]
因此，$\mathbf{c} = \{-1, -1, 5\}$。
答案：$\{-1, -1, 5\}$
解析
本题考查向量的数乘和减法运算。解题思路是先根据向量数乘的运算法则分别计算出$3\mathbf{a}$与$2\mathbf{b}$，再根据向量减法的运算法则计算$3\mathbf{a}-2\mathbf{b}$。
- 计算$3\mathbf{a}$：
已知向量$\mathbf{a} = \{1, -1, 3\}$，根据向量数乘的运算法则，若$\mathbf{a}=\{x,y,z\}$，$k$为实数，则$k\mathbf{a}=\{kx,ky,kz\}$。
所以$3\mathbf{a} = 3\times\{1, -1, 3\}=\{3\times1,3\times(-1),3\times3\}=\{3, -3, 9\}$。 - 计算$2\mathbf{b}$：
已知向量$\mathbf{b} = \{2, -1, 2\}$，同理可得$2\mathbf{b} = 2\times\{2, -1, 2\}=\{2\times2,2\times(-1),2\times2\}=\{4, -2, 4\}$。 - 计算$\mathbf{c}=3\mathbf{a}-2\mathbf{b}$：
根据向量减法的运算法则，若$\mathbf{a}=\{x_1,y_1,z_1\}$，$\mathbf{b}=\{x_2,y_2,z_2\}$，则$\mathbf{a}-\mathbf{b}=\{x_1 - x_2,y_1 - y_2,z_1 - z_2\}$。
所以$\mathbf{c} = \{3, -3, 9\} - \{4, -2, 4\}=\{3 - 4,-3 - (-2),9 - 4\}=\{-1, -1, 5\}$。