题目

1、设A=“甲地发生春季旱情”、B=“乙地发生春季旱情”是两个随机事件，且P(A)=1/4，P(B|A)=1/3，P(A|B)=1/2，则C=“甲或乙地发生春季旱情”发生的概率为____；

1、设A=“甲地发生春季旱情”、B=“乙地发生春季旱情”是两个随机事件，且P(A)=1/4，$P(B|A)=1/3$，$P(A|B)=1/2$，则C=“甲或乙地发生春季旱情”发生的概率为____；

题目解答

答案

已知条件为：

  • $P(A) = \frac{1}{4}$，
  • $P(B|A) = \frac{1}{3}$，
  • $P(A|B) = \frac{1}{2}$。

利用条件概率公式求解：

  1. $P(AB) = P(A)P(B|A) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$，
  2. $P(B) = \frac{P(AB)}{P(A|B)} = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{6}$。

根据概率加法公式：
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} - \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}。$

答案： $\boxed{\frac{1}{3}}$

解析

本题考查条件概率公式以及概率的加法公式的应用。解题思路如下：

  1. 首先，根据条件概率公式$P(AB)=P(A)P(B|A)$，已知$P(A)=\frac{1}{4}$，$P(B|A)=\frac{1}{3}$，可求出$P(AB)$的值。
    • 由条件概率公式$P(AB)=P(A)P(B|A)$，将$P(A)=\frac{1}{4}$，$P(B|A)=\frac{1}{3}$代入可得：
      $P(AB)=\frac{1}{4}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{12}$
  2. 然后，再根据条件概率公式$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$，变形可得$P(B)=\frac{P(AB)}{P(A|B)}$，已知$P(AB)=\frac{1}{12}$，$P(A|B)=\frac{1}{2}$，可求出$P(B)$的值。
    • 由$P(B)=\frac{P(AB)}{P(A|B)}$，将$P(AB)=\frac{1}{12}$，$P(A|B)=\frac{1}{2}$代入可得：
      $P(B)=\frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{12}\times2=\frac{1}{6}$
  3. 最后，根据概率的加法公式$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$，已知$P(A)=\frac{1}{4}$，$P(B)=\frac{1}{6}$，$P(AB)=\frac{1}{12}$，可求出$P(A\cup B)$的值，而$A\cup B$表示“甲或乙地发生春季旱情”，即$P(C)=P(A\cup B)$。
    • 由$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$，将$P(A)=\frac{1}{4}$，$P(B)=\frac{1}{6}$，$P(AB)=\frac{1}{12}$代入可得：
      $P(A\cup B)=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{12}$
      先通分，$4$、$6$、$12$的最小公倍数是$12$，则$\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$，$\frac{1}{6}=\frac{2}{12}$，所以$P(A\cup B)=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}-\frac{1}{12}=\frac{3 + 2 - 1}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$