题目
猎人在距离100米处射击一动物,击中的概率为0.6;如果第一次未击中,则进行第二次射击,但由于动物逃跑而使距离便成为150米;如果第二次又未击中,则进行第三次射击,这时距离变为200米。假定最多进行三次射击,设击中的概率与距离成反比,求猎人击中动物的概率.
猎人在距离100米处射击一动物,击中的概率为0.6;如果第一次未击中,则进行第二次射击,但由于动物逃跑而使距离便成为150米;如果第二次又未击中,则进行第三次射击,这时距离变为200米。假定最多进行三次射击,设击中的概率与距离成反比,求猎人击中动物的概率.
题目解答
答案
解:设第
次击中的概率为
,(=1,2,3)因为第次击中的概率与距离
成反比,
所以设
,(=1,2,3);
由题设,知
,
,代入上式,得到
再将代入上式,易计算出
,
设事件表示猎人击中动物,事件
表示猎人第次击中动物(=1,2,3),则所
求概率为:
解析
步骤 1：确定击中概率与距离的关系
根据题意，击中的概率与距离成反比，即${p}_{i}=\dfrac {k}{{d}_{i}}$，其中${d}_{i}$是第i次射击时的距离，k是比例常数。
步骤 2：计算比例常数k
已知第一次射击时，距离${d}_{1}=100$米，击中的概率${p}_{1}=0.6$，代入${p}_{i}=\dfrac {k}{{d}_{i}}$，得到$0.6=\dfrac {k}{100}$，解得$k=60$。
步骤 3：计算第二次和第三次射击的击中概率
将$k=60$代入${p}_{i}=\dfrac {k}{{d}_{i}}$，得到第二次射击时，${p}_{2}=\dfrac {60}{150}=0.4$；第三次射击时，${p}_{3}=\dfrac {60}{200}=0.3$。
步骤 4：计算猎人击中动物的总概率
设事件A表示猎人击中动物，事件${B}_{i}$表示猎人第i次击中动物（i=1,2,3），则所求概率为$P(A)=P({B}_{1})+P({B}_{1}{B}_{2})+P({B}_{1}{B}_{2}{B}_{3})$。
$P(A)=P({B}_{1})+P({B}_{2})P({B}_{2}|{B}_{1})+P({B}_{1})P({B}_{2}|{B}_{1})P({B}_{3}|{B}_{1}{B}_{2})$
$=0.6+(1-0.6)\times 0.4+(1-0.6)\times (1-0.4)\times 0.3$
$=0.6+0.4\times 0.4+0.4\times 0.6\times 0.3$
$=0.6+0.16+0.072$
$=0.832$
根据题意，击中的概率与距离成反比，即${p}_{i}=\dfrac {k}{{d}_{i}}$，其中${d}_{i}$是第i次射击时的距离，k是比例常数。
步骤 2：计算比例常数k
已知第一次射击时，距离${d}_{1}=100$米，击中的概率${p}_{1}=0.6$，代入${p}_{i}=\dfrac {k}{{d}_{i}}$，得到$0.6=\dfrac {k}{100}$，解得$k=60$。
步骤 3：计算第二次和第三次射击的击中概率
将$k=60$代入${p}_{i}=\dfrac {k}{{d}_{i}}$，得到第二次射击时，${p}_{2}=\dfrac {60}{150}=0.4$；第三次射击时，${p}_{3}=\dfrac {60}{200}=0.3$。
步骤 4：计算猎人击中动物的总概率
设事件A表示猎人击中动物，事件${B}_{i}$表示猎人第i次击中动物（i=1,2,3），则所求概率为$P(A)=P({B}_{1})+P({B}_{1}{B}_{2})+P({B}_{1}{B}_{2}{B}_{3})$。
$P(A)=P({B}_{1})+P({B}_{2})P({B}_{2}|{B}_{1})+P({B}_{1})P({B}_{2}|{B}_{1})P({B}_{3}|{B}_{1}{B}_{2})$
$=0.6+(1-0.6)\times 0.4+(1-0.6)\times (1-0.4)\times 0.3$
$=0.6+0.4\times 0.4+0.4\times 0.6\times 0.3$
$=0.6+0.16+0.072$
$=0.832$