二、解答题18 计算三重积分I=iiintlimits_(Omega)x dxdydz其中积分区域Ω为三个坐标面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域。

本题考查三重积分的计算，解题思路是先确定积分区域 $\Omega$ 在 $xOy$ 平面上的投影区域 $D$，然后将三重积分化为三次积分进行计算。

1. 确定积分区域 $\Omega$ 的范围：
   • 已知积分区域 $\Omega$ 为三个坐标面（$x = 0$，$y = 0$，$z = 0$）及平面 $x + 2y + z = 1$ 所围成的闭区域。
   • 将积分区域 $\Omega$ 投影到 $xOy$ 平面，得到三角形区域 $D$，其边界为 $y = 0$，$x = 0$，$x + 2y = 1$。
   • 对于 $z$，由平面方程 $x + 2y + z = 1$ 可得 $z$ 的范围是 $0\leq z\leq 1 - x - 2y$。
   • 对于 $y$，在投影区域 $D$ 中，由 $x + 2y = 1$ 可得 $y=\frac{1 - x}{2}$，所以 $y$ 的范围是 $0\leq y\leq\frac{1 - x}{2}$。
   • 对于 $x$，在投影区域 $D$ 中，$x$ 的范围是 $0\leq x\leq 1$。
   • 因此，积分区域 $\Omega$ 可表示为：$0\leq z\leq 1 - x - 2y$，$0\leq y\leq\frac{1 - x}{2}$，$0\leq x\leq 1$。
2. 将三重积分化为三次积分：
   • 根据上述积分区域的范围，三重积分$\iiint\limits_{\Omega} x \, dxdydz$可化为三次积分$\int_{0}^{1} \int_{0}^{\frac{1 - x}{2}} \int_{0}^{1 - x - 2y} x \, dz \, dy \, dx$。
3. 分步计算三次积分：
   • 对 $z$ 积分：
     • 计算$\int_{0}^{1 - x - 2y} x \, dz$，因为 $x$ 与 $z$ 无关，可将 $x$ 看作常数提到积分号外，根据定积分公式$\int_{a}^{b}kdz=k(b - a)$（$k$ 为常数），可得$\int_{0}^{1 - x - 2y} x \, dz = x(1 - x - 2y)$。
   • 对 $y$ 积分：
     • 计算$\int_{0}^{\frac{1 - x}{2}} x(1 - x - 2y) \, dy$，将 $x(1 - x)$ 看作常数，对 $-2xy$ 进行积分，根据定积分公式$\int_{a}^{b}ky^n dy=\frac{k}{n + 1}y^{n+1}\big|_{a}^{b}$（$k$ 为常数，$n\neq - 1$），可得：
       • $\int_{0}^{\frac{1 - x}{2}} x(1 - x - 2y) \, dy=x(1 - x)\int_{0}^{\frac{1 - x}{2}}dy-2x\int_{0}^{\frac{1 - x}{2}}y dy$
       • $=x(1 - x)\cdot y\big|_{0}^{\frac{1 - x}{2}}-2x\cdot\frac{1}{2}y^{2}\big|_{0}^{\frac{1 - x}{2}}$
       • $=x(1 - x)\cdot\frac{1 - x}{2}-x\cdot(\frac{1 - x}{2})^{2}$
       • $=\frac{x(1 - x)^{2}}{2}-\frac{x(1 - x)^{2}}{4}$
       • $=x\cdot\frac{(1 - x)^{2}}{4}$
   • 对 $x$ 积分：
     • 计算$\int_{0}^{1} x\cdot\frac{(1 - x)^{2}}{4} \, dx$，先将$(1 - x)^{2}$展开，根据完全平方公式$(a - b)^2=a^2-2ab + b^2$，可得$(1 - x)^{2}=1 - 2x + x^{2}$。
     • 则$\int_{0}^{1} x\cdot\frac{(1 - x)^{2}}{4} \, dx=\frac{1}{4} \int_{0}^{1} x(1 - 2x + x^{2}) \, dx$
     • 展开被积函数得$\frac{1}{4} \int_{0}^{1} (x - 2x^{2} + x^{3}) \, dx$
     • 根据定积分公式$\int_{a}^{b}(f(x)+g(x)+h(x))dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx+\int_{a}^{b}h(x)dx$，可得：
       • $\frac{1}{4} \left(\int_{0}^{1} x \, dx - 2\int_{0}^{1} x^{2} \, dx + \int_{0}^{1} x^{3} \, dx\right)$
       • 再根据定积分公式$\int_{a}^{b}x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n+1}\big|_{a}^{b}$（$n\neq - 1$），可得：
       • $\frac{1}{4} \left[\frac{x^{2}}{2} - 2\cdot\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{4}}{4} \right]_{0}^{1}$
       • $=\frac{1}{4} \left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{1}{4}\right)$
       • $=\frac{1}{4}\times\frac{6 - 8 + 3}{12}$
       • $=\frac{1}{48}$