例2.16 计算不定积分 int (sin )^2x(cos )^3xdx.

考查要点：本题主要考查三角函数的不定积分计算，特别是利用代换法处理含有幂次的三角函数乘积形式。

解题核心思路：

1. 观察被积函数结构：$\sin^2 x \cos^3 x$ 中，$\cos^3 x$ 可拆分为 $\cos^2 x \cdot \cos x$。
2. 利用三角恒等式：将 $\cos^2 x$ 用 $1 - \sin^2 x$ 替换，将原式转化为关于 $\sin x$ 的多项式。
3. 变量代换：令 $u = \sin x$，则 $du = \cos x dx$，将积分转化为关于 $u$ 的简单多项式积分。

破题关键点：

• 拆分 $\cos^3 x$ 为 $\cos^2 x \cdot \cos x$，并用 $1 - \sin^2 x$ 替换 $\cos^2 x$，从而统一变量为 $\sin x$。
• 正确执行代换，将原积分转化为关于 $u$ 的多项式积分，简化计算。

步骤 1：拆分被积函数
将 $\cos^3 x$ 拆分为 $\cos^2 x \cdot \cos x$：
$\int \sin^2 x \cos^3 x dx = \int \sin^2 x \cos^2 x \cdot \cos x dx.$

步骤 2：应用三角恒等式
用 $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ 替换：
$\int \sin^2 x (1 - \sin^2 x) \cos x dx.$

步骤 3：变量代换
令 $u = \sin x$，则 $du = \cos x dx$，积分变为：
$\int u^2 (1 - u^2) du.$

步骤 4：展开并积分
展开被积函数：
$\int (u^2 - u^4) du = \int u^2 du - \int u^4 du.$
分别计算：
$\int u^2 du = \frac{1}{3} u^3, \quad \int u^4 du = \frac{1}{5} u^5.$

步骤 5：代回原变量
将 $u = \sin x$ 代回，得到最终结果：
$\frac{1}{3} \sin^3 x - \frac{1}{5} \sin^5 x + C.$