6、求微分方程(dy)/(dx)+(y)/(x)=(sin x)/(x),y|_(x=pi)=1的特解.
题目解答
答案
该微分方程为一阶线性方程，形式为 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$，其中 $P(x) = \frac{1}{x}$，$Q(x) = \frac{\sin x}{x}$。根据通解公式：
$y = e^{-\int P(x)dx} \left( \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C \right)$
代入 $P(x)$ 和 $Q(x)$，得：
$y = e^{-\int \frac{1}{x}dx} \left( \int \frac{\sin x}{x} e^{\int \frac{1}{x}dx} dx + C \right) = e^{-\ln x} \left( \int \frac{\sin x}{x} \cdot x \, dx + C \right) = \frac{1}{x} \left( \int \sin x \, dx + C \right)$
计算积分 $\int \sin x \, dx = -\cos x$，故：
$y = \frac{1}{x} (-\cos x + C)$
由初始条件 $y|_{x=\pi} = 1$，代入得：
$1 = \frac{1}{\pi} (-\cos \pi + C) = \frac{1}{\pi} (1 + C) \implies C = \pi - 1$
因此，特解为：
$y = \frac{1}{x} (\pi - 1 - \cos x) = \frac{\pi - 1 - \cos x}{x}$
答案：
$y = \frac{\pi - 1 - \cos x}{x}$
解析
本题考查一阶线性微分方程的求解，解题思路是先判断方程类型，再利用一阶线性微分方程的通解公式求出通解，最后根据给定的初始条件确定通解中的常数，从而得到特解。
- 判断方程类型：
给定的微分方程$\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=\frac{\sin x}{x}$是一阶线性微分方程，其标准形式为$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$，其中$P(x) = \frac{1}{x}$，$Q(x) = \frac{\sin x}{x}$。 - 求通解：
一阶线性微分方程的通解公式为$y = e^{-\int P(x)dx} \left( \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C \right)$。- 先计算$e^{\int P(x)dx}$：
已知$P(x)=\frac{1}{x}$，则$\int P(x)dx=\int\frac{1}{x}dx=\ln x$，所以$e^{\int P(x)dx}=e^{\ln x}=x$。 - 再计算$e^{-\int P(x)dx}$：
因为$e^{\int P(x)dx}=x$，所以$e^{-\int P(x)dx}=\frac{1}{x}$。 - 然后计算$\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx$：
把$Q(x) = \frac{\sin x}{x}$和$e^{\int P(x)dx}=x$代入可得$\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx=\int\frac{\sin x}{x}\cdot xdx=\int\sin xdx$。
根据积分公式$\int\sin xdx=-\cos x$，所以$\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx=-\cos x$。 - 最后得到通解$y$：
将$e^{-\int P(x)dx}=\frac{1}{x}$和$\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx=-\cos x$代入通解公式，可得$y = \frac{1}{x} (-\cos x + C)$。
- 先计算$e^{\int P(x)dx}$：
- 求特解：
已知初始条件$y|_{x=\pi} = 1$，将$x = \pi$，$y = 1$代入通解$y = \frac{1}{x} (-\cos x + C)$中，得到$1 = \frac{1}{\pi} (-\cos \pi + C)$。
因为$\cos\pi=-1$，所以$1 = \frac{1}{\pi} (1 + C)$，等式两边同时乘以$\pi$可得$\pi = 1 + C$，解得$C = \pi - 1$。
将$C = \pi - 1$代入通解$y = \frac{1}{x} (-\cos x + C)$中，得到特解$y = \frac{1}{x} (\pi - 1 - \cos x)=\frac{\pi - 1 - \cos x}{x}$。