25、曲线积分int_(L)(x^2+y^2)ds，其中L是圆周x^2+y^2=R^2，值为（）(2分)A. 2pi R^3B. pi2pi R^2C. pi R^3D. pi R^2

本题考查第一类曲线积分的计算。解题思路是先将曲线$L$用参数方程表示，然后根据第一类曲线积分的计算公式将曲线积分转化为定积分进行计算。

已知曲线$L$是圆周$x^{2}+y^{2}=R^{2}$，可将其参数方程设为$\begin{cases}x = R\cos t\\y = R\sin t\end{cases}$，$t\in[0,2\pi]$。

1. 首先求弧长元素$ds$：
   根据弧长元素公式$ds = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}dt$，对$x = R\cos t$求导得$\frac{dx}{dt}=-R\sin t$，对$y = R\sin t$求导得$\frac{dy}{dt}=R\cos t$。
   将$\frac{dx}{dt}$和$\frac{dy}{dt}$代入弧长元素公式可得：
   $\begin{align*}ds&=\sqrt{(-R\sin t)^2 + (R\cos t)^2}dt\\&=\sqrt{R^2\sin^2 t + R^2\cos^2 t}dt\\&=\sqrt{R^2(\sin^2 t + \cos^2 t)}dt\end{align*}$
   根据三角函数的平方关系$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$，则$ds = \sqrt{R^2\times1}dt = Rdt$。

2. 然后将$x = R\cos t$，$y = R\sin t$和$ds = Rdt$代入曲线积分$\int_{L}(x^{2}+y^{2})ds$中：
   因为$x^{2}+y^{2}=R^{2}$，所以曲线积分变为$\int_{0}^{2\pi}R^{2}\cdot Rdt$。

3. 最后计算定积分：
   $\int_{0}^{2\pi}R^{2}\cdot Rdt = R^{3}\int_{0}^{2\pi}dt$
   根据定积分基本公式$\int_{a}^{b}dt = b - a$，可得$R^{3}\int_{0}^{2\pi}dt = R^{3}(2\pi - 0)= 2\pi R^{3}$。