设z=arctan(x)/(y),则z_(x)+z_(y)=()A. (y-x)/(x^2)+y^(2)B. (x-y)/(x^2)+y^(2)C. (y-x)/(x^2)-y^(2)D. (x-y)/(x^2)-y^(2)

本题考查多元函数偏导数的计算。解题思路是先分别求出函数$z = \arctan\frac{x}{y}$对$x$和$y$的偏导数$z_{x}$和$z_{y}$，再将它们相加。

1. 求$z_{x}$

根据复合函数求导法则，若$z = \arctan u$，$u=\frac{x}{y}$，则$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}$。

• 先对$z = \arctan u$关于$u$求导，根据求导公式$(\arctan u)^\prime=\frac{1}{1 + u^{2}}$，可得$\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{1}{1 + u^{2}}$。
• 再对$u=\frac{x}{y}$关于$x$求导，把$y$看作常数，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{1}{y}$。
• 所以$z_{x}=\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{1 + (\frac{x}{y})^{2}}\cdot\frac{1}{y}$，化简：
  $\begin{align*}z_{x}&=\frac{1}{1 + \frac{x^{2}}{y^{2}}}\cdot\frac{1}{y}\\&=\frac{y^{2}}{y^{2}+x^{2}}\cdot\frac{1}{y}\\&=\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\end{align*}$

2. 求$z_{y}$

同样根据复合函数求导法则，$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}$。

• 前面已求得$\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{1}{1 + u^{2}}$。
• 对$u=\frac{x}{y}=x\cdot y^{-1}$关于$y$求导，把$x$看作常数，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$\frac{\partial u}{\partial y}=x\cdot(-1)\cdot y^{-2}=-\frac{x}{y^{2}}$。
• 所以$z_{y}=\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{1 + (\frac{x}{y})^{2}}\cdot(-\frac{x}{y^{2}})$，化简：
  $\begin{align*}z_{y}&=\frac{1}{1 + \frac{x^{2}}{y^{2}}}\cdot(-\frac{x}{y^{2}})\\&=\frac{y^{2}}{y^{2}+x^{2}}\cdot(-\frac{x}{y^{2}})\\&=-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\end{align*}$

3. 计算$z_{x}+z_{y}$

将$z_{x}=\frac{y}{x^{2}+y^{2}}$和$z_{y}=-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}$代入$z_{x}+z_{y}$可得：
$\begin{align*}z_{x}+z_{y}&=\frac{y}{x^{2}+y^{2}}-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\\&=\frac{y - x}{x^{2}+y^{2}}\end{align*}$