题目
设A,B,C为随机事件，且A,C互不相容，P(AB)=(1)/(2)，P(C)=(1)/(3)，求P(AB|C).
设A,B,C为随机事件，且A,C互不相容，$P(AB)=\frac{1}{2}$，$P(C)=\frac{1}{3}$，求$P(AB|C)$.
题目解答
答案
我们来逐步分析并解决这个概率问题。
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### **题目已知条件：**
- $ A $ 和 $ C $ **互不相容**（即互斥），记作：
$$
A \cap C = \emptyset
$$
- $ P(AB) = \frac{1}{2} $
- $ P(C) = \frac{1}{3} $
- 要求的是：
$$
P(AB \mid C)
$$
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### **第一步：理解条件概率公式**
条件概率的定义是：
$$
P(AB \mid C) = \frac{P(AB \cap C)}{P(C)}
$$
所以我们需要计算分子 $ P(AB \cap C) $。
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### **第二步：利用已知的互斥关系**
我们知道：
- $ A $ 和 $ C $ 是互不相容的，即 $ A \cap C = \emptyset $
- 那么 $ AB \cap C \subseteq A \cap C = \emptyset $，所以：
$$
AB \cap C = \emptyset
$$
因此：
$$
P(AB \cap C) = 0
$$
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### **第三步：代入条件概率公式**
$$
P(AB \mid C) = \frac{P(AB \cap C)}{P(C)} = \frac{0}{P(C)} = 0
$$
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### **最终答案：**
$$
\boxed{0}
$$
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### **总结：**
由于事件 $ A $ 和 $ C $ 互不相容，那么 $ AB $ 和 $ C $ 也一定互不相容，所以 $ AB \cap C = \emptyset $，从而条件概率为 0。
解析
本题考查条件概率的计算以及互不相容事件的性质。解题的关键在于利用互不相容事件的定义，推导出$AB$与$C$的交集情况，再结合条件概率公式进行计算。
- 明确条件概率公式：
条件概率公式为$P(AB|C)=\frac{P(AB\cap C)}{P(C)}$，所以我们需要求出$P(AB\cap C)$的值。 - 分析$AB$与$C$的交集：
已知$A$与$C$互不相容，根据互不相容事件的定义可知$A\cap C = \varnothing$。
因为$AB\cap C\subseteq A\cap C$，而$A\cap C = \varnothing$，所以$AB\cap C=\varnothing$。
根据概率的基本性质，空集的概率为$0$，即$P(AB\cap C)=0$。 - 计算条件概率$P(AB|C)$：
已知$P(C)=\frac{1}{3}$，将$P(AB\cap C)=0$和$P(C)=\frac{1}{3}$代入条件概率公式$P(AB|C)=\frac{P(AB\cap C)}{P(C)}$，可得：
$P(AB|C)=\frac{0}{\frac{1}{3}} = 0$