题目

设 F(s) = (1 + e^-2s)/(s^2), 则 f(t) = ________.

设 $F(s) = \frac{1 + e^{-2s}}{s^2}$, 则 $f(t) = \_\_\_\_\_\_\_\_$.

题目解答

答案

将 $ F(s) = \frac{1 + e^{-2s}}{s^2} $ 分解为两部分：

  1. $ \frac{1}{s^2} $ 的逆变换为 $ t $。
  2. $ \frac{e^{-2s}}{s^2} $ 利用时移性质，其逆变换为 $ (t-2)u(t-2) $，其中 $ u(t) $ 为单位阶跃函数。

将两部分组合得：
$f(t) = t + (t-2)u(t-2).$

答案：
$\boxed{t + (t-2)u(t-2)}$
（或表示为：
$f(t) = \begin{cases} t & \text{若 } 0 \leq t < 2, \\ 2t - 2 & \text{若 } t \geq 2. \end{cases}$ ）

解析

本题考查拉普拉斯逆变换的知识，解题思路是先将给定的拉普拉斯变换函数 $F(s)$ 分解为两个部分，分别求出这两部分的拉普拉斯逆变换，再根据线性性质将两部分的逆变换相加得到 $f(t)$。

  1. 分解 $F(s)$：
    已知 $F(s) = \frac{1 + e^{-2s}}{s^2}$，将其分解为 $F(s)=\frac{1}{s^2}+\frac{e^{-2s}}{s^2}$。
  2. 求 $\frac{1}{s^2}$ 的拉普拉斯逆变换：
    根据拉普拉斯变换的基本公式，我们知道 $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^n}\right\}=\frac{t^{n - 1}}{(n - 1)!}$，当 $n = 2$ 时，$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^2}\right\}=\frac{t^{2 - 1}}{(2 - 1)!}=t$。
  3. 求 $\frac{e^{-2s}}{s^2}$ 的拉普拉斯逆变换：
    拉普拉斯变换的时移性质为：若 $\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=f(t)$，则 $\mathcal{L}^{-1}\{e^{-as}F(s)\}=f(t - a)u(t - a)$，其中 $u(t)$ 为单位阶跃函数，定义为 $u(t)=\begin{cases}1, & t\geq0 \\ 0, & t<0\end{cases}$。
    因为 $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^2}\right\}=t$，这里 $a = 2$，$F(s)=\frac{1}{s^2}$，所以 $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{e^{-2s}}{s^2}\right\}=(t - 2)u(t - 2)$。
  4. 求 $f(t)$：
    根据拉普拉斯逆变换的线性性质，若 $F(s)=F_1(s)+F_2(s)$，则 $\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=\mathcal{L}^{-1}\{F_1(s)\}+\mathcal{L}^{-1}\{F_2(s)\}$。
    所以 $f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^2}\right\}+\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{e^{-2s}}{s^2}\right\}=t+(t - 2)u(t - 2)$。
    也可以将其写成分段函数的形式：
    当 $0\leq t<2$ 时，$u(t - 2)=0$，则 $f(t)=t$；
    当 $t\geq2$ 时，$u(t - 2)=1$，则 $f(t)=t+(t - 2)=2t - 2$。
    即 $f(t) = \begin{cases} t & \text{若 } 0 \leq t < 2, \\ 2t - 2 & \text{若 } t \geq 2. \end{cases}$