题目

5【填空题】设随机变量X的期望和方差分别为1，4，则由切比雪夫不等式估计P(|X-1|<4)≥_____.

5【填空题】设随机变量X的期望和方差分别为1，4，则由切比雪夫不等式估计P(|X-1|<4)≥_____.

题目解答

答案

为了使用切比雪夫不等式估计 $ P(|X-1| < 4) $，我们首先回顾切比雪夫不等式。切比雪夫不等式表明，对于任何具有有限期望值 $ \mu $ 和有限非零方差 $ \sigma^2 $ 的随机变量 $ X $，以及任何正实数 $ k $， \[ P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}. \] 在这个问题中，我们已知随机变量 $ X $ 的期望值 $ \mu $ 为1，方差 $ \sigma^2 $ 为4。因此，标准差 $ \sigma $ 为 $ \sqrt{4} = 2 $。 我们想要找到 $ P(|X-1| < 4) $。这等价于找到 $ 1 - P(|X-1| \geq 4) $。使用切比雪夫不等式，我们设 $ k\sigma = 4 $。由于 $ \sigma = 2 $，我们有 $ k \cdot 2 = 4 $，所以 $ k = 2 $。 将 $ k = 2 $ 代入切比雪夫不等式，我们得到 \[ P(|X-1| \geq 4) \leq \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}. \] 因此， \[ P(|X-1| < 4) = 1 - P(|X-1| \geq 4) \geq 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}. \] 所以，由切比雪夫不等式估计 $ P(|X-1| < 4) $ 的值为 $\boxed{\frac{3}{4}}$。

解析

本题考查切比雪夫不等式的应用。解题思路是先明确切比雪夫不等式的形式，再根据题目所给随机变量$X$的期望和方差求出标准差，然后将不等式中的参数$k$计算出来，最后代入不等式求解$P(|X - 1| < 4)$的估计值。

  1. 首先明确切比雪夫不等式：对于任何具有有限期望值$\mu$和有限非零方差$\sigma^2$的随机变量$X$，以及任何正实数$k$，有$P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}$。
  2. 已知随机变量$X$的期望值$\mu = 1$，方差$\sigma^2 = 4$，根据标准差与方差的关系$\sigma=\sqrt{\sigma^2}$，可得标准差$\sigma = \sqrt{4}=2$。
  3. 我们要求$P(|X - 1| < 4)$，根据概率的性质$P(|X - 1| < 4)=1 - P(|X - 1| \geq 4)$。
  4. 令$k\sigma = 4$，把$\sigma = 2$代入可得$k\times2 = 4$，解方程$\begin{equation}2k = 4\end{equation}$，两边同时除以$2$，得$k = 2$。
  5. 将$k = 2$代入切比雪夫不等式$P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}$，可得$P(|X - 1| \geq 4) \leq \frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$。
  6. 因为$P(|X - 1| < 4)=1 - P(|X - 1| \geq 4)$，且$P(|X - 1| \geq 4) \leq \frac{1}{4}$，所以$P(|X - 1| < 4)\geq 1-\frac{1}{4}$。计算$1-\frac{1}{4}=\frac{4 - 1}{4}=\frac{3}{4}$。