设 z = e^xy，而 y = varphi(x) 可导，求 (dz)/(dx) = ( ).A. e^xy(1 + xvarphi'(x))B. e^xy(y + varphi'(x))C. e^xy(y + x)D. e^xy(y + xvarphi'(x))

本题考查复合函数求导法则。解题思路是先根据复合函数求导的链式法则，确定$z$关于$x$的导数由两部分组成，一部分是$z$对$x$的直接求导，另一部分是$z$通过$y$对$x$的间接求导，然后分别计算这两部分导数，最后将它们相加。

已知$z = e^{xy}$，$y = \varphi(x)$可导，根据复合函数求导的链式法则$\frac{dz}{dx}=\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dx}$。

1. 计算$\frac{\partial z}{\partial x}$：
   对$z = e^{xy}$关于$x$求偏导数，此时把$y$看作常数，根据复合函数求导公式$(e^u)^\prime=e^u\cdot u^\prime$，可得：
   $\frac{\partial z}{\partial x}=e^{xy}\cdot y$
2. 计算$\frac{\partial z}{\partial y}$：
   对$z = e^{xy}$关于$y$求偏导数，此时把$x$看作常数，同样根据复合函数求导公式$(e^u)^\prime=e^u\cdot u^\prime$，可得：
   $\frac{\partial z}{\partial y}=e^{xy}\cdot x$
3. 计算$\frac{dy}{dx}$：
   因为$y = \varphi(x)$可导，所以$\frac{dy}{dx}=\varphi^\prime(x)$。
4. 计算$\frac{dz}{dx}$：
   将上述计算结果代入链式法则公式$\frac{dz}{dx}=\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dx}$，可得：
   $\frac{dz}{dx}=e^{xy}\cdot y + e^{xy}\cdot x\cdot\varphi^\prime(x)=e^{xy}(y + x\varphi^\prime(x))$