题目

8.设一个袋子中有5个球,分别标号为1,2,3,4,5.从此袋子中任取3个球,记这3个-|||-球中最小的号码为X,最大的号码为Y.-|||-(1)求(X,Y)的联合分布律;-|||-(2)问:X与Y是否相互独立?

题目解答

答案

解析

本题主要考查二维离散型随机变量的联合分布律以及随机变量独立性的判断。解题思路如下：

（1）求$(X,Y)$的联合分布律

首先明确$X$和$Y$的取值范围，$X$是取出的$3$个球中最小的号码，所以$X$的可能取值为$1$，$2$，$3$；$Y$是取出的$3$个球中最大的号码，所以$Y$的可能取值为$3$，$4$，$5$。
然后根据组合数公式$C_{n}^k=\frac{n!}{k!(n - k)!}$计算从$5$个球中任取$3$个球的总组合数，即$C_{5}^3=\frac{5!}{3!(5 - 3)!}=\frac{5\times4\times3!}{3!\times2\times1}=10$种。

接着分别计算$P(X = i,Y = j)$（$i = 1,2,3$；$j = 3,4,5$）的值：

当$X = 1$，$Y = 3$时，意味着取出的$3$个球为$1$，$2$，$3$，只有$1$种取法，所以$P(X = 1,Y = 3)=\frac{C_{1}^1C_{1}^1C_{1}^1}{C_{5}^3}=\frac{1}{10}$。
当$X = 1$，$Y = 4$时，意味着取出的$3$个球中有$1$和$4$，另外一个球从$2$，$3$中选$1$个，有$C_{2}^1 = 2$种取法，所以$P(X = 1,Y = 4)=\frac{C_{1}^1C_{1}^1C_{2}^1}{C_{5}^3}=\frac{2}{10}$。
当$X = 1$，$Y = 5$时，意味着取出的$3$个球中有$1$和$5$，另外一个球从$2$，$3$，$4$中选$1$个，有$C_{3}^1 = 3$种取法，所以$P(X = 1,Y = 5)=\frac{C_{1}^1C_{1}^1C_{3}^1}{C_{5}^3}=\frac{3}{10}$。
当$X = 2$，$Y = 3$时，因为最小号码为$2$，最大号码为$3$，无法选出满足条件的$3$个球，所以$P(X = 2,Y = 3)=0$。
当$X = 2$，$Y = 4$时，意味着取出的$3$个球中有$2$和$4$，另外一个球从$3$，$5$中选$1$个，有$C_{2}^1 = 2$种取法，所以$P(X = 2,Y = 4)=\frac{C_{1}^1C_{1}^1C_{2}^1}{C_{5}^3}=\frac{2}{10}$。
当$X = 2$，$Y = 5$时，意味着取出的$3$个球中有$2$和$5$，另外一个球从$3$，$4$中选$1$个，有$C_{2}^1 = 2$种取法，所以$P(X = 2,Y = 5)=\frac{C_{1}^1C_{1}^1C_{2}^1}{C_{5}^3}=\frac{2}{10}$。
当$X = 3$，$Y = 3$时，因为最小号码和最大号码都为$3$，无法选出满足条件的$3$个球，所以$P(X = 3,Y = 3)=0$。
当$X = 3$，$Y = 4$时，因为最小号码为$3$，最大号码为$4$，无法选出满足条件的$3$个球，所以$P(X = 3,Y = 4)=0$。
当$X = 3$，$Y = 5$时，意味着取出的$3$个球为$3$，$4$，$5$，只有$1$种取法，所以$P(X = 3,Y = 5)=\frac{C_{1}^1C_{1}^1C_{1}^1}{C_{5}^3}=\frac{1}{10}$。

为了更清晰地展示联合分布律，我们列出如下表格：

$X$ $\diagdown$ $Y$	$3$	$4$	$5$	$P(X = i)$
$1$	$\frac{1}{10}$	$\frac{2}{10}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{6}{10}$
$2$	$0$	$\frac{1}{10}$	$\frac{2}{10}$	$\frac{3}{10}$
$3$	$0$	$0$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{10}$
$P(Y = j)$	$\frac{1}{10}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{6}{10}$

（2）判断$X$与$Y$是否相互独立

根据随机变量相互独立的定义：若对于任意的$i$，$j$，都有$P(X = i,Y = j)=P(X = i)P(Y = j)$，则$X$与$Y$相互独立。
我们可以通过验证一组$i$，$j$的值来判断，例如取$i = 1$，$j = 3$，$P(X = 1)= \frac{6}{10}$，$P(Y = 3)=\frac{1}{10}$，则$P(X = 1)P(Y = 3)=\frac{6}{10}\times\frac{1}{10}=\frac{6}{100}\neq P(X = 1,Y = 3)=\frac{1}{10}$。
所以$X$与$Y$不相互独立。