函数z=ln(1+x+2y)在点(1,1)处的全微分为A. 2ln2, (dx + dy)B. (1)/(4), (dx + dy)C. (1)/(4), dx + (1)/(2), dyD. (1)/(2), dx + (1)/(4), dy

本题考查多元函数全微分的计算。解题思路是先求出函数$z = \ln(1 + x + 2y)$关于$x$和$y$的偏导数，再将点$(1,1)$代入偏导数中，最后根据全微分公式$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$计算出函数在该点处的全微分。

步骤一：求$z$关于$x$的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$

根据复合函数求导法则，若$z = \ln(u)$，$u = 1 + x + 2y$，则$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}$。

• 对$z = \ln(u)$关于$u$求导，可得$\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{1}{u}$。
• 对$u = 1 + x + 2y$关于$x$求导，可得$\frac{\partial u}{\partial x}=1$。
  所以$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{1 + x + 2y}\times1=\frac{1}{1 + x + 2y}$。

步骤二：求$z$关于$y$的偏导数$\frac{\partial z}{\partial y}$

同样根据复合函数求导法则，$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}$。

• 已求得$\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{1}{u}$。
• 对$u = 1 + x + 2y$关于$y$求导，可得$\frac{\partial u}{\partial y}=2$。
  所以$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{1 + x + 2y}\times2=\frac{2}{1 + x + 2y}$。

步骤三：将点$(1,1)$代入偏导数中

• 将$(1,1)$代入$\frac{\partial z}{\partial x}$，可得$\frac{\partial z}{\partial x}\big|_{(1,1)}=\frac{1}{1 + 1 + 2\times1}=\frac{1}{4}$。
• 将$(1,1)$代入$\frac{\partial z}{\partial y}$，可得$\frac{\partial z}{\partial y}\big|_{(1,1)}=\frac{2}{1 + 1 + 2\times1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。

步骤四：计算函数在点$(1,1)$处的全微分$dz$

根据全微分公式$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$，将$\frac{\partial z}{\partial x}\big|_{(1,1)}=\frac{1}{4}$和$\frac{\partial z}{\partial y}\big|_{(1,1)}=\frac{1}{2}$代入可得：
$dz\big|_{(1,1)}=\frac{1}{4}dx+\frac{1}{2}dy$