已知: alpha_1, alpha_2, alpha_3 线性无关，beta_1 = 2alpha_2 - alpha_3，beta_2 = -alpha_1 + 2alpha_2，beta_3 = alpha_1 - alpha_2 + 3alpha_3 证明: beta_1, beta_2, beta_3 线性无关。

本题考查向量组线性无关的定义及线性方程组的求解。解题的关键思路是根据向量组线性无关的定义，设出线性组合等于零的等式，然后将已知的向量关系代入，通过合并同类项得到关于系数的方程组，最后求解方程组判断系数是否全为零。

1. 根据线性无关的定义设等式：
   要证明$\beta_1, \beta_2, \beta_3$线性无关，根据向量组线性无关的定义，需证明若$k_1 \beta_1 + k_2 \beta_2 + k_3 \beta_3 = 0$，则$k_1 = k_2 = k_3 = 0$。
   已知$\beta_1 = 2\alpha_2 - \alpha_3$，$\beta_2 = -\alpha_1 + 2\alpha_2$，$\beta_3 = \alpha_1 - \alpha_2 + 3\alpha_3$，将其代入$k_1 \beta_1 + k_2 \beta_2 + k_3 \beta_3 = 0$可得：
   $k_1(2\alpha_2 - \alpha_3) + k_2(-\alpha_1 + 2\alpha_2) + k_3(\alpha_1 - \alpha_2 + 3\alpha_3) = 0$
2. 合并同类项：
   对上式进行合并同类项，将含有$\alpha_1$、$\alpha_2$、$\alpha_3$的项分别合并，得到：
   $(-k_2 + k_3)\alpha_1 + (2k_1 + 2k_2 - k_3)\alpha_2 + (-k_1 + 3k_3)\alpha_3 = 0$
3. 根据$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性无关列方程组：
   因为$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性无关，根据向量组线性无关的性质，若$c_1\alpha_1 + c_2\alpha_2 + c_3\alpha_3 = 0$，则$c_1 = c_2 = c_3 = 0$。
   所以对于$(-k_2 + k_3)\alpha_1 + (2k_1 + 2k_2 - k_3)\alpha_2 + (-k_1 + 3k_3)\alpha_3 = 0$，可得：
   $\begin{cases}-k_2 + k_3 = 0 &(1)\\2k_1 + 2k_2 - k_3 = 0 &(2)\\-k_1 + 3k_3 = 0 &(3)\end{cases}$
4. 解方程组：
   • 由$(1)$式可得$k_2 = k_3$。
   • 将$k_2 = k_3$代入$(2)$式可得：$2k_1 + 2k_3 - k_3 = 0$，即$2k_1 + k_3 = 0$，移项得$k_3 = -2k_1$。
   • 将$k_3 = -2k_1$代入$(3)$式可得：$-k_1 + 3\times(-2k_1) = 0$，即$-k_1 - 6k_1 = 0$，合并同类项得$-7k_1 = 0$，解得$k_1 = 0$。
   • 把$k_1 = 0$代入$k_3 = -2k_1$，可得$k_3 = 0$。
   • 因为$k_2 = k_3$，所以$k_2 = 0$。

综上，解得$k_1 = k_2 = k_3 = 0$，满足向量组线性无关的定义，所以$\beta_1, \beta_2, \beta_3$线性无关。