5.线性方程组 ) (x)_(1)-(x)_(2)=(a)_(1) 2(x)_(2)-(x)_(3)=(a)_(2) (x)_(1)+(x)_(2)-(x)_(3)=(a)_(3)=0

本题考查线性方程组有解的充分必要条件，解题思路是通过对增广矩阵进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵，然后根据线性方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩来确定$a_1$，$a_2$，$a_3$满足的关系。

1. 首先写出线性方程组的增广矩阵$(A,\boldsymbol{p})$：
   已知线性方程组$\begin{cases}x_1 - x_2 = a_1\\2x_2 - x_3 = a_2\\x_1 + x_2 - x_3 = a_3\end{cases}$，其增广矩阵$(A,\boldsymbol{p})=\begin{bmatrix}1& -1& 0& a_1\\0& 2& -1& a_2\\1& 1& -1& a_3\end{bmatrix}$。
2. 然后对增广矩阵进行初等行变换：
   • 把第一行乘以$-1$加到第三行，根据矩阵初等行变换规则$r_i + k r_j$（第$i$行加上第$j$行的$k$倍），这里$i = 3$，$j = 1$，$k = -1$，可得：
     $\begin{bmatrix}1& -1& 0& a_1\\0& 2& -1& a_2\\1& 1& -1& a_3\end{bmatrix}\xrightarrow{r_3 - r_1}\begin{bmatrix}1& -1& 0& a_1\\0& 2& -1& a_2\\0& 2& -1& a_3 - a_1\end{bmatrix}$
   • 再把第二行乘以$-1$加到第三行，即$i = 3$，$j = 2$，$k = -1$，得到：
     $\begin{bmatrix}1& -1& 0& a_1\\0& 2& -1& a_2\\0& 2& -1& a_3 - a_1\end{bmatrix}\xrightarrow{r_3 - r_2}\begin{bmatrix}1& -1& 0& a_1\\0& 2& -1& a_2\\0& 0& 0& a_3 - a_1 - a_2\end{bmatrix}$
3. 接着分析系数矩阵$A$和增广矩阵$(A,\boldsymbol{p})$的秩：
   • 系数矩阵$A=\begin{bmatrix}1& -1& 0\\0& 2& -1\\1& 1& -1\end{bmatrix}$，经过上述初等行变换后，其行阶梯形矩阵非零行有$2$行，所以$r(A)=2$。
   • 增广矩阵$(A,\boldsymbol{p})$经过初等行变换后为$\begin{bmatrix}1& -1& 0& a_1\\0& 2& -1& a_2\\0& 0& 0& a_3 - a_1 - a_2\end{bmatrix}$，要使线性方程组有解，则$r(A)=r(A,\boldsymbol{p}) = 2$，那么第三行必须全为零，即$a_3 - a_1 - a_2 = 0$。
4. 最后整理得到$a_1$，$a_2$，$a_3$的关系：
   由$a_3 - a_1 - a_2 = 0$，移项可得$a_1 + a_2 - a_3 = 0$。