题目

15.（判断题，5.0分）四元线性非齐次线性方程组的系数矩阵秩为3，eta_(1),eta_(2),eta_(3)是它的三个解向量，且eta_(1)=}2345,k为任意实数A 对

15.（判断题，5.0分） 四元线性非齐次线性方程组的系数矩阵秩为3，$\eta_{1},\eta_{2},\eta_{3}$是它的三个解向量， 且$\eta_{1}=\begin{pmatrix}2\\3\\4\\5\end{pmatrix},\eta_{2}+2\eta_{3}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix},$则方程组的通解可表示为$x=\begin{pmatrix}2\\3\\4\\5\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}5\\7\\9\\11\end{pmatrix},k为任意实数$ A 对

题目解答

答案

已知四元线性非齐次方程组的系数矩阵秩为3，导出组的解空间维数为1。设 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 为解向量，其中 $\eta_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}$，且 $\eta_2 + 2\eta_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$。 导出组的基础解系可由 $\eta_2 - \eta_1$ 或 $\eta_3 - \eta_1$ 的线性组合得到。利用 $\eta_2 + 2\eta_3 - 3\eta_1 = \begin{pmatrix} -5 \\ -7 \\ -9 \\ -11 \end{pmatrix}$，得导出组解向量 $\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 9 \\ 11 \end{pmatrix}$。 通解形式为 $\eta_1 + k \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 9 \\ 11 \end{pmatrix}$，与题目一致。 答案：$\boxed{A}$

解析

本题考查四元线性非齐次线性方程组通解的求解，解题的关键在于利用非齐次方程组解的性质求出导出组的基础解系，再结合已知的一个特解得到通解。

  1. 确定导出组的解空间维数：
    • 对于四元线性非齐次线性方程组，设其系数矩阵为$A$，已知$r(A)=3$。
    • 根据线性方程组解的结构理论，导出组（对应的齐次线性方程组）的解空间维数$n - r(A)$，其中$n$为未知数的个数，这里$n = 4$。
    • 所以导出组的解空间维数为$4 - 3 = 1$，这意味着导出组的基础解系只含有一个非零解向量。
  2. 利用解的性质构造导出组的解向量：
    • 已知$\eta_{1},\eta_{2},\eta_{3}$是四元线性非齐次线性方程组的三个解向量，根据非齐次方程组解的性质：若$\eta_1,\eta_2$是某非齐次线性方程组的解，则$\eta_2-\eta_1$是对应的齐次线性方程组（导出组）的解。
    • 我们对$\eta_{2}+2\eta_{3}$进行变形，$\eta_{2}+2\eta_{3}-3\eta_{1}=(\eta_{2}-\eta_{1}) + 2(\eta_{3}-\eta_{1})$，它是导出组的解。
    • 已知$\eta_{1}=\begin{pmatrix}2\\3\\4\\5\end{pmatrix}$，$\eta_{2}+2\eta_{3}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix}$，则$\eta_{2}+2\eta_{3}-3\eta_{1}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}2\\3\\4\\5\end{pmatrix}$。
    • 根据向量数乘和减法运算规则：若$\vec{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\\a_4\end{pmatrix}$，$\vec{b}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\\b_4\end{pmatrix}$，则$k\vec{a}=\begin{pmatrix}ka_1\\ka_2\\ka_3\\ka_4\end{pmatrix}$，$\vec{a}-\vec{b}=\begin{pmatrix}a_1 - b_1\\a_2 - b_2\\a_3 - b_3\\a_4 - b_4\end{pmatrix}$。
    • 所以$\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}2\\3\\4\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\times2\\3\times3\\3\times4\\3\times5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\9\\12\\15\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 - 6\\2 - 9\\3 - 12\\4 - 15\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\-7\\-9\\-11\end{pmatrix}$。
    • 那么$\begin{pmatrix}5\\7\\9\\11\end{pmatrix}=-(\begin{pmatrix}-5\\-7\\-9\\-11\end{pmatrix})$也是导出组的解，且由于导出组的基础解系只含一个非零解向量，所以$\begin{pmatrix}5\\7\\9\\11\end{pmatrix}$可作为导出组的基础解系。
  3. 得到非齐次方程组的通解：
    • 对于非齐次线性方程组，其通解等于它的一个特解加上对应的齐次线性方程组（导出组）的通解。
    • 已知$\eta_{1}=\begin{pmatrix}2\\3\\4\\5\end{pmatrix}$是该非齐次方程组的一个特解，导出组的通解为$k\begin{pmatrix}5\\7\\9\\11\end{pmatrix}$（$k$为任意实数）。
    • 所以该非齐次方程组的通解可表示为$x=\begin{pmatrix}2\\3\\4\\5\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}5\\7\\9\\11\end{pmatrix}$，$k$为任意实数，与题目所给通解形式一致。