=(x)^2sin 2x, 求y(50)

本题主要考察高阶导数的计算，涉及三角函数的n阶导数公式及莱布尼茨公式的应用。

步骤1：回顾相关公式

• 三角函数的n阶导数：对于$\sin(kx)$，其n阶导数为$(sin(kx))^{(n)}=k^n\sin\left(kx+\frac{n\pi}{2}\right)$。本题中$k=2$，故$(\sin2x)^{(n)}=2^n\sin\left(2x+\frac{n\pi}{2}\right)$。
• 莱布尼茨公式：对于两个函数$u(x)$和$v(x)$的乘积，其n阶导数为：
  $(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}u^{(k)}v^{(n-k)}$
  本题中$y=x^2\sin2x$，取$u(x)=x^2$，$v(x)=\sin2x$。

步骤2：分析$u(x)=x^2$的各阶导数

$u(x)=x^2$是二次多项式，其三阶及以上导数均为0，因此只需计算$k=0,1,2$三项：

• $u^{(0)}(x)=x^2$（0阶导数即原函数）
• $u^{(1)}(x)=2x$（一阶导数）
• $u^{(2)}(x)=2$（二阶导数）
• $u^{(k)}(x)=0$（$k\geq3$）

步骤3：代入莱布尼茨公式计算$y^{(50)}$

根据莱布尼茨公式，$y^{(50)}=\sum_{k=0}^2\binom{50}{k}u^{(k)}v^{(50-k)}$，展开得三项：

第一项（$k=0$）

$\binom{50}{0}u^{(0)}v^{(50)}=1\cdot x^2\cdot(\sin2x)^{(50)}$
由三角函数n阶导数公式：
$(\sin2x)^{(50)}=2^{50}\sin\left(2x+\frac{50\pi}{2}\right)=2^{50}\sin(2x+25\pi)=2^{50}\sin(2x+\pi)=-2^{50}\sin2x$
（因$\sin(\theta+\pi)=-\sin\theta$）
故第一项为：$x^2\cdot(-2^{50}\sin2x)=-2^{50}x^2\sin2x$。

第二项（$k=1$）

$\binom{50}{1}u^{(1)}v^{(49)}=50\cdot2x\cdot(\sin2x)^{(49)}$
$(\sin2x)^{(49)}=2^{49}\sin\left(2x+\frac{49\pi}{2}\right)=2^{49}\sin\left(2x+\frac{\pi}{2}+24\pi\right)=2^{49}\sin\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)=2^{49}\cos2x$
（因$\sin(\theta+\frac{\pi}{2})=\cos\theta$，周期$2\pi$）
故第二项为：$50\cdot2x\cdot2^{49}\cos2x=50\cdot2^{50}x\cos2x$。

第三项（$k=2$）

$\binom{50}{2}u^{(2)}v^{(48)}=\frac{50\cdot49}{2}\cdot2\cdot(\sin2x)^{(48)}$
$(\sin2x)^{(48)}=2^{48}\sin\left(2x+\frac{48\pi}{2}\right)=2^{48}\sin(2x+24\pi)=2^{48}\sin2x$
（因$\sin(\theta+24\pi)=\sin\theta$）
故第三项为：$\frac{50\cdot49}{2}\cdot2\cdot2^{48}\sin2x=\frac{50\cdot49}{2}\cdot2^{49}\sin2x=\frac{1225}{2}\cdot2^{50}\sin2x$。

步骤4：合并三项得最终结果

将三项相加并提取公因子$2^{50}$：
$y^{(50)}=2^{50}\left(-x^2\sin2x + 50x\cos2x + \frac{1225}{2}\sin2x\right)$