题目

8.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7。今各投3次。求(1)两人投中次数相等的概率。(2)甲比乙投中次数多的概率。

8.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为$0.6,0.7$。今各投3次。求 (1)两人投中次数相等的概率。 (2)甲比乙投中次数多的概率。

题目解答

答案

我们来逐步解决这个概率问题。

已知：

  • 甲投中一次的概率是 $ p_1 = 0.6 $，不中的概率是 $ 1 - p_1 = 0.4 $
  • 乙投中一次的概率是 $ p_2 = 0.7 $，不中的概率是 $ 1 - p_2 = 0.3 $
  • 两人各独立投篮 3 次
  • 每次投篮相互独立

设：

  • $ X $：甲投中的次数，服从二项分布 $ X \sim B(3, 0.6) $
  • $ Y $：乙投中的次数，服从二项分布 $ Y \sim B(3, 0.7) $
  • $ X $ 和 $ Y $ 相互独立

（1）求两人投中次数相等的概率：$ P(X = Y) $

由于 $ X, Y $ 独立，且都取值于 $ 0,1,2,3 $，我们有：

$P(X = Y) = \sum_{k=0}^{3} P(X = k) \cdot P(Y = k)$

我们先分别计算 $ P(X = k) $ 和 $ P(Y = k) $，使用二项分布公式：

$P(X = k) = \binom{3}{k} (0.6)^k (0.4)^{3-k}$
$P(Y = k) = \binom{3}{k} (0.7)^k (0.3)^{3-k}$

我们逐个计算 $ k = 0,1,2,3 $ 的情况。

当 $ k = 0 $：

$P(X=0) = \binom{3}{0}(0.6)^0(0.4)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0.064 = 0.064$
$P(Y=0) = \binom{3}{0}(0.7)^0(0.3)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0.027 = 0.027$
$P(X=0)P(Y=0) = 0.064 \times 0.027 = 0.001728$

当 $ k = 1 $：

$P(X=1) = \binom{3}{1}(0.6)^1(0.4)^2 = 3 \cdot 0.6 \cdot 0.16 = 3 \cdot 0.096 = 0.288$
$P(Y=1) = \binom{3}{1}(0.7)^1(0.3)^2 = 3 \cdot 0.7 \cdot 0.09 = 3 \cdot 0.063 = 0.189$
$P(X=1)P(Y=1) = 0.288 \times 0.189 = 0.054432$

当 $ k = 2 $：

$P(X=2) = \binom{3}{2}(0.6)^2(0.4)^1 = 3 \cdot 0.36 \cdot 0.4 = 3 \cdot 0.144 = 0.432$
$P(Y=2) = \binom{3}{2}(0.7)^2(0.3)^1 = 3 \cdot 0.49 \cdot 0.3 = 3 \cdot 0.147 = 0.441$
$P(X=2)P(Y=2) = 0.432 \times 0.441 = 0.190512$

当 $ k = 3 $：

$P(X=3) = \binom{3}{3}(0.6)^3(0.4)^0 = 1 \cdot 0.216 \cdot 1 = 0.216$
$P(Y=3) = \binom{3}{3}(0.7)^3(0.3)^0 = 1 \cdot 0.343 \cdot 1 = 0.343$
$P(X=3)P(Y=3) = 0.216 \times 0.343 = 0.074088$

现在求和：

$P(X = Y) = 0.001728 + 0.054432 + 0.190512 + 0.074088$

先加前两项：$ 0.001728 + 0.054432 = 0.05616 $

再加第三项：$ 0.05616 + 0.190512 = 0.246672 $

再加第四项：$ 0.246672 + 0.074088 = 0.32076 $

所以：

$\boxed{P(X = Y) = 0.32076}$

（2）求甲比乙投中次数多的概率：$ P(X > Y) $

由于 $ X $ 和 $ Y $ 独立，我们可以枚举所有满足 $ X > Y $ 的情况。

即：所有 $ (x, y) $ 满足 $ x > y $，其中 $ x, y \in \{0,1,2,3\} $

我们列出所有可能的情况：

  • $ X = 1, Y = 0 $
  • $ X = 2, Y = 0 $ 或 $ Y = 1 $
  • $ X = 3, Y = 0 $ 或 $ Y = 1 $ 或 $ Y = 2 $

所以：

$P(X > Y) = \sum_{x=1}^{3} \sum_{y=0}^{x-1} P(X=x)P(Y=y)$

我们逐项计算：

  1. $ X=1, Y=0 $：
    $P(X=1)P(Y=0) = 0.288 \times 0.027 = 0.007776$

  2. $ X=2, Y=0 $：
    $P(X=2)P(Y=0) = 0.432 \times 0.027 = 0.011664$

  3. $ X=2, Y=1 $：
    $P(X=2)P(Y=1) = 0.432 \times 0.189 = 0.081648$

  4. $ X=3, Y=0 $：
    $P(X=3)P(Y=0) = 0.216 \times 0.027 = 0.005832$

  5. $ X=3, Y=1 $：
    $P(X=3)P(Y=1) = 0.216 \times 0.189 = 0.040824$

  6. $ X=3, Y=2 $：
    $P(X=3)P(Y=2) = 0.216 \times 0.441 = 0.095256$

现在相加：

逐项相加：

  • $ 0.007776 $
  • $ + 0.011664 = 0.01944 $
  • $ + 0.081648 = 0.101088 $
  • $ + 0.005832 = 0.10692 $
  • $ + 0.040824 = 0.147744 $
  • $ + 0.095256 = 0.243000 $

所以：

$\boxed{P(X > Y) = 0.243}$

最终答案：

（1）两人投中次数相等的概率为：
$\boxed{0.32076}$

（2）甲比乙投中次数多的概率为：
$\boxed{0.243}$