题目
设 f(x) 在 (a,b) 上连续，a < x_1 < x_2 < b，求证存在 xi in (a,b)，使 5f(xi) = 2f(x_1) + 3f(x_2).
设 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上连续，$a < x_1 < x_2 < b$，求证存在 $\xi \in (a,b)$，使 $5f(\xi) = 2f(x_1) + 3f(x_2)$.
题目解答
答案
设 $ k = \frac{2f(x_1) + 3f(x_2)}{5} $，则 $ k $ 为 $ f(x_1) $ 和 $ f(x_2) $ 的加权平均值。
由于 $ f(x) $ 在 $ (a, b) $ 上连续，且 $ [x_1, x_2] \subset (a, b) $，根据连续函数的介值定理，$ f(x) $ 在 $ [x_1, x_2] $ 上能取到任意介于 $ f(x_1) $ 和 $ f(x_2) $ 之间的值。
而 $ k $ 满足 $ \min\{f(x_1), f(x_2)\} \leq k \leq \max\{f(x_1), f(x_2)\} $，故存在 $ \xi \in [x_1, x_2] \subset (a, b) $，使得 $ f(\xi) = k $。
即 $ 5f(\xi) = 2f(x_1) + 3f(x_2) $。
结论： 存在 $ \xi \in (a, b) $，满足 $ 5f(\xi) = 2f(x_1) + 3f(x_2) $。
$\boxed{\text{存在 } \xi \in (a, b), \text{ 使 } 5f(\xi) = 2f(x_1) + 3f(x_2)}$
解析
本题考查连续函数的介值定理。解题思路是先构造出一个介于$f(x_1)$和$f(x_2)$之间的加权平均值$k$，再利用连续函数在闭区间上的介值定理证明存在$\xi$使得$f(\xi)=k$。
- 构造加权平均值：
设$k = \frac{2f(x_1) + 3f(x_2)}{5}$，这里$k$是$f(x_1)$和$f(x_2)$的加权平均值。 - 分析$k$的取值范围：
根据加权平均值的性质，$k$满足$\min\{f(x_1), f(x_2)\} \leq k \leq \max\{f(x_1), f(x_2)\}$。 - 应用介值定理：
已知$f(x)$在$(a, b)$上连续，且$[x_1, x_2] \subset (a, b)$，根据连续函数的介值定理，$f(x)$在$[x_1, x_2]$上能取到任意介于$f(x_1)$和$f(x_2)$之间的值。
因为$k$介于$f(x_1)$和$f(x_2)$之间，所以存在$\xi \in [x_1, x_2]$，又因为$[x_1, x_2] \subset (a, b)$，所以$\xi \in (a, b)$，使得$f(\xi) = k$。 - 得出结论：
将$k = \frac{2f(x_1) + 3f(x_2)}{5}$代入$f(\xi) = k$，可得$f(\xi) = \frac{2f(x_1) + 3f(x_2)}{5}$，等式两边同时乘以$5$，即$5f(\xi) = 2f(x_1) + 3f(x_2)$。