题目

lim _((x, y) arrow(1,0)) (ln (1+x y))/(y)= ______.

$\lim _{(x, y) \rightarrow(1,0)} \frac{\ln (1+x y)}{y}=$ ______.

题目解答

答案

令 $ f(x, y) = \frac{\ln(1+xy)}{y} $，定义域为 $ D = \{ (x, y) \mid y \neq 0, xy > -1 \} $。点 $ P_0(1,0) $ 是 $ D $ 的聚点。 将原式改写为： \[ \lim_{(x,y) \to (1,0)} \frac{\ln(1+xy)}{y} = \lim_{(x,y) \to (1,0)} \left( \frac{\ln(1+xy)}{xy} \cdot x \right) \] 当 $ (x, y) \to (1,0) $ 时，$ xy \to 0 $，由等价无穷小 $ \ln(1+u) \sim u $（当 $ u \to 0 $）得： \[ \lim_{xy \to 0} \frac{\ln(1+xy)}{xy} = 1 \] 同时，$ \lim_{x \to 1} x = 1 $。根据极限运算法则： \[ \lim_{(x,y) \to (1,0)} \left( \frac{\ln(1+xy)}{xy} \cdot x \right) = 1 \cdot 1 = 1 \] 因此，原极限为 $ 1 $。 答案：$ 1 $。

解析

本题考查二元函数极限的计算，解题思路是利用等价无穷小替换和极限的运算法则来求解。

  1. 首先，分析函数$f(x, y) = \frac{\ln(1+xy)}{y}$的定义域为$D = \{ (x, y) \mid y \neq 0, xy > -1 \}$，点$(1,0)$是定义域的聚点。
  2. 然后，对原式进行改写：
    • 根据分式的性质，将$\frac{\ln(1 + xy)}{y}$变形为$\frac{\ln(1 + xy)}{xy} \cdot x$，即$\lim_{(x,y) \to (1,0)} \frac{\ln(1+xy)}{y} = \lim_{(x,y) \to (1,0)} \left( \frac{\ln(1+xy)}{xy} \cdot x \right)$。
  3. 接着，利用等价无穷小替换：
    • 当$(x, y) \to (1,0)$时，$xy \to 0$。
    • 根据等价无穷小的知识，当$u \to 0$时，$\ln(1 + u) \sim u$，令$u = xy$，则$\lim_{xy \to 0} \frac{\ln(1+xy)}{xy} = 1$。
  4. 最后，根据极限的运算法则：
    • 已知$\lim_{x \to 1} x = 1$，对于两个函数乘积的极限$\lim_{(x,y) \to (1,0)} \left( \frac{\ln(1+xy)}{xy} \cdot x \right)$，根据极限运算法则$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}[f(x,y)\cdot g(x,y)]=\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}f(x,y)\cdot\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}g(x,y)$，可得$\lim_{(x,y) \to (1,0)} \left( \frac{\ln(1+xy)}{xy} \cdot x \right) = \lim_{xy \to 0} \frac{\ln(1+xy)}{xy} \cdot \lim_{x \to 1} x = 1\times1 = 1$。