在解决下述问题时，注意到方程组中方程的个数等于未知量的个数，于是可以通过克拉默法则作为解决问题的突破口。我们可以按以下步骤进行解决。第1步：计算出系数矩阵的行列式，从而知道1)当lambdaneq____且____时，该方程组有唯一解；第2步：2)当lambda=____时，计算增广矩阵的秩与系数矩阵的秩，发现它们不相等，从而得知原方程组无解；第3步：3)当lambda=____时，将增广矩阵化为行阶梯形，发现增广矩阵的秩与系数矩阵的秩相等，都等于____，从而可知线性方程组有无限多解，并且其导出组的基础解系应有____个解向量，第4步：再把增广矩阵接着化为行最简形，找到导出组的____个线性无关的解作为基础解系，另外从增广矩阵的最简形读出原方程组的____个解（特解）。最后，将基础解系做线性组合再加上求得的原方程组的特解便是原方程组的通解。讨论当lambda取何值时，线性方程组[}lambda x_1 + x_2 + x_3 = 1 x_1 + lambda x_2 + x_3 = lambda x_1 + x_2 + lambda x_3 = lambda^2]有(1)唯一解？(2)无解？(3)无穷多解？并用基础解系表出通解.

本题主要考察线性方程组解的判定以及求解，解题思路是先根据克拉默法则，通过计算系数矩阵的行列式来判断方程组有唯一解的条件，再分别讨论行列式为零的情况，通过计算增广矩阵和系数矩阵的秩来判断方程组无解或有无穷多解，最后在有无穷多解时求出通解。

1. 计算系数矩阵的行列式：
   已知线性方程组的系数矩阵\(A=\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{pmatrix}\)，根据三阶行列式的计算公式\(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}\)，可得：
   $\begin{align*}\det(A)&=\lambda\begin{vmatrix}\lambda & 1 \\1 & \lambda\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}1 & 1 \\1 & \lambda\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}1 & \lambda \\1 & 1\end{vmatrix}\\&=\lambda(\lambda^2 - 1) - (\lambda - 1) + (1 - \lambda)\\&=\lambda^3 - \lambda - \lambda + 1 + 1 - \lambda\\&=\lambda^3 - 3\lambda + 2\\&=(\lambda - 1)^2(\lambda + 2)\end{align*}$
   当$\det(A)\neq 0$，即$(\lambda - 1)^2(\lambda + 2)\neq 0$时，解得$\lambda\neq 1$且$\lambda\neq -2$，此时方程组有唯一解。
2. 当$\lambda = -2$时：
   增广矩阵\(\overline{A}=\begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & -2 & 4 \end{pmatrix}\)，对其进行初等行变换：
   $r_1 + 2r_2$得\(\begin{pmatrix} 0 & -3 & 3 & -3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & -2 & 4 \end{pmatrix}\)；
   $r_3 - r_2$得\(\begin{pmatrix} 0 & -3 & 3 & -3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 0 & 3 & -3 & 6 \end{pmatrix}\)；
   $r_3 + r_1$得\(\begin{pmatrix} 0 & -3 & 3 & -3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\)。
   此时增广矩阵的秩$r(\overline{A}) = 3$，系数矩阵的秩$r(A) = 2$，因为$r(\overline{A})\neq r(A)$，所以方程组无解。
3. 当$\lambda = 1$时：
   增广矩阵\(\overline{A}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\)，对其进行初等行变换：
   $r_2 - r_1$，$r_3 - r_1$得\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)。
   此时增广矩阵的秩$r(\overline{A}) = 1$，系数矩阵的秩$r(A) = 1$，因为$r(\overline{A}) = r(A) = 1\lt 3$（未知数个数），所以方程组有无穷多解。
4. 求无穷多解时的通解：
   将增广矩阵化为行最简形\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)，对应的同解方程组为$x_1 + x_2 + x_3 = 1$，即$x_1 = 1 - x_2 - x_3$。
   令$x_2 = s$，$x_3 = t$（$s$、$t$为任意常数），则$x_1 = 1 - s - t$。
   所以原方程组的通解为\(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 - s - t \\ s \\ t \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)，其中\(\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)和\(\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)是导出组的基础解系（有$2$个解向量），\(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)是原方程组的特解（有$1$个）。