单选题（共20题，80.0分）1.（4.0分）设A=(}1&1&1&12&4&3&13&5&2&44&6&3&5)，则齐次线性方程组Ax=0的解空间的维数为（）。A 1B 3C 4D 2

本题考查齐次线性方程组解空间维数的计算，解题的关键在于先通过初等行变换求出系数矩阵的秩，再利用解空间维数与矩阵秩的关系来求解。

1. 对系数矩阵$A=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\2&4&3&1\\3&5&2&4\\4&6&3&5\end{pmatrix}$进行初等行变换：
   • 第二行减去第一行的$2$倍，根据矩阵初等行变换规则$r_i - kr_j$（$r_i$表示第$i$行，$r_j$表示第$j$行，$k$为常数），可得：
     $\begin{pmatrix}1&1&1&1\\2 - 2\times1&4 - 2\times1&3 - 2\times1&1 - 2\times1\\3&5&2&4\\4&6&3&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&2&1& - 1\\3&5&2&4\\4&6&3&5\end{pmatrix}$
   • 第三行减去第一行的$3$倍，同理可得：
     $\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&2&1& - 1\\3 - 3\times1&5 - 3\times1&2 - 3\times1&4 - 3\times1\\4&6&3&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&2&1& - 1\\0&2& - 1&1\\4&6&3&5\end{pmatrix}$
   • 第四行减去第一行的$4$倍，同理可得：
     $\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&2&1& - 1\\0&2& - 1&1\\4 - 4\times1&6 - 4\times1&3 - 4\times1&5 - 4\times1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&2&1& - 1\\0&2& - 1&1\\0&2& - 1&1\end{pmatrix}$
   • 第三行减去第二行，可得：
     $\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&2&1& - 1\\0 - 0&2 - 2& - 1 - 1&1 - (-1)\\0&2& - 1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&2&1& - 1\\0&0& - 2&2\\0&2& - 1&1\end{pmatrix}$
   • 第四行减去第二行，可得：
     $\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&2&1& - 1\\0&0& - 2&2\\0 - 0&2 - 2& - 1 - 1&1 - (-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&2&1& - 1\\0&0& - 2&2\\0&0& - 2&2\end{pmatrix}$
   • 第四行减去第三行，可得：
     $\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&2&1& - 1\\0&0& - 2&2\\0 - 0&0 - 0& - 2 - (-2)&2 - 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&2&1& - 1\\0&0& - 2&2\\0&0&0&0\end{pmatrix}$
2. 经过初等行变换后，得到阶梯形矩阵，非零行的行数即为矩阵的秩，所以$R(A)=3$。
3. 对于齐次线性方程组$Ax = 0$，其中$A$是$m\times n$矩阵，解空间的维数为$n - R(A)$，本题中$n = 4$（矩阵$A$的列数），则解空间的维数为$4 - 3 = 1$。