11.填空题若方阵(}0&0&1x&1&2x-31&0&0)可对角化，则x=____.

本题考查方阵可对角化的判定条件。解题的关键思路是先求出方阵的特征值，再根据方阵可对角化的充要条件，即对于每个特征值，其几何重数等于代数重数来确定$x$的值。具体步骤如下：

1. 求方阵的特征值：
   对于方阵$A=\begin{pmatrix}0&0&1\\x&1&2x - 3\\1&0&0\end{pmatrix}$，其特征方程为$\det(A - \lambda I) = 0$，其中$I$为三阶单位矩阵。
   计算$A - \lambda I$：
   $A - \lambda I=\begin{pmatrix} 0 - \lambda&0&1\\ x&1 - \lambda&2x - 3\\ 1&0&0 - \lambda \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\lambda&0&1\\ x&1 - \lambda&2x - 3\\ 1&0&-\lambda \end{pmatrix}$
   计算行列式$\det(A - \lambda I)$：
   $\begin{align*} \det(A - \lambda I)&=-\lambda\begin{vmatrix} 1 - \lambda&2x - 3\\ 0&-\lambda \end{vmatrix}-0\begin{vmatrix} x&2x - 3\\ 1&-\lambda \end{vmatrix}+1\begin{vmatrix} x&1 - \lambda\\ 1&0 \end{vmatrix}\\ &=-\lambda((1 - \lambda)(-\lambda)-0)-0 + 1(0-(1 - \lambda))\\ &=\lambda^2(1 - \lambda)+(\lambda - 1)\\ &=(\lambda - 1)(\lambda^2 - 1)\\ &=(\lambda - 1)(\lambda - 1)(\lambda + 1)\\ &= - (\lambda - 1)^2(\lambda + 1) \end{align*}$
   令$\det(A - \lambda I)=0$，即$- (\lambda - 1)^2(\lambda + 1)=0$，解得特征值$\lambda_1 = 1$（代数重数为$2$），$\lambda_2 = - 1$（代数重数为$1$）。
2. 求特征值$\lambda = 1$对应的几何重数：
   几何重数等于$n-\text{rank}(A - \lambda I)$，其中$n$为矩阵的阶数，这里$n = 3$。
   计算$A - I$：
   $A - I=\begin{pmatrix} -1&0&1\\ x&0&2x - 3\\ 1&0&-1 \end{pmatrix}$
   对$A - I$进行初等行变换：
   第一行乘以$-1$得\(\begin{pmatrix} 1&0&-1\\ x&0&2x - 3\\ 1&0&-1 \end{pmatrix}\)；
   第二行减去第一行的$x$倍，第三行减去第一行得\(\begin{pmatrix} 1&0&-1\\ 0&0&2x - 3 + x\\ 0&0&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&0&-1\\ 0&0&3x - 3\\ 0&0&0 \end{pmatrix}\)。
   当$x = 3$时，$3x - 3 = 0$，此时$\text{rank}(A - I)=1$。
   那么特征值$\lambda = 1$的几何重数为$3 - \text{rank}(A - I)=3 - 1 = 2$，等于其代数重数。
   对于特征值$\lambda_2 = - 1$，其代数重数为$1$，几何重数也为$1$。
   所以当$x = 3$时，方阵$A$的每个特征值的几何重数都等于代数重数，方阵$A$可对角化。