题目

18.计算二重积分 iintlimits_(D)ydxdy，其中D是由曲线y=x^2,y=8x^2与xy=1所围成的闭区域.

18.计算二重积分$ \iint\limits_{D}ydxdy$，其中D是由曲线$y=x^{2},y=8x^{2}$与xy=1所围成的闭区域.

题目解答

答案

将区域 $D$ 由曲线 $y = x^2$，$y = 8x^2$，和 $xy = 1$ 围成。

  1. 确定交点：

    • $y = x^2$ 与 $y = 8x^2$ 交于 $(0,0)$；
    • $y = x^2$ 与 $xy = 1$ 交于 $(1,1)$；
    • $y = 8x^2$ 与 $xy = 1$ 交于 $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$。

  2. 分区域积分：

    • 区域1：$0 \leq x \leq \frac{1}{2}$，$y$ 从 $x^2$ 到 $8x^2$；
    • 区域2：$\frac{1}{2} \leq x \leq 1$，$y$ 从 $x^2$ 到 $\frac{1}{x}$。

  3. 计算积分：
    $\iint_{D} y \, dx \, dy = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \int_{x^2}^{8x^2} y \, dy \, dx + \int_{\frac{1}{2}}^{1} \int_{x^2}^{\frac{1}{x}} y \, dy \, dx$
    经计算，两部分积分分别为 $\frac{63}{320}$ 和 $\frac{129}{320}$，相加得 $\frac{192}{320} = \frac{3}{5}$。

答案：$\boxed{\frac{3}{5}}$

解析

本题考查二重积分的计算，解题思路是先确定积分区域 $D$ 的边界曲线交点，将积分区域 $D$ 分割成两个部分，然后分别对这两个部分进行二重积分的计算，最后将两部分的积分结果相加。

步骤一：确定积分区域 $D$ 的边界曲线交点

  • 联立 $y = x^{2}$ 与 $y = 8x^{2}$ 的方程：
    $\begin{cases}y = x^{2}\\y = 8x^{2}\end{cases}$
    将两式相减可得 $0 = 7x^{2}$，解得 $x = 0$，代入 $y = x^{2}$ 得 $y = 0$，所以交点为 $(0,0)$。
  • 联立 $y = x^{2}$ 与 $xy = 1$ 的方程：
    $\begin{cases}y = x^{2}\\xy = 1\end{cases}$
    将 $y = x^{2}$ 代入 $xy = 1$ 得 $x\cdot x^{2}=1$，即 $x^{3}=1$，解得 $x = 1$，代入 $y = x^{2}$ 得 $y = 1$，所以交点为 $(1,1)$。
  • 联立 $y = 8x^{2}$ 与 $xy = 1$ 的方程：
    $\begin{cases}y = 8x^{2}\\xy = 1\end{cases}$
    将 $y = 8x^{2}$ 代入 $xy = 1$ 得 $x\cdot8x^{2}=1$，即 $8x^{3}=1$，解得 $x=\frac{1}{2}$，代入 $y = 8x^{2}$ 得 $y = 8\times(\frac{1}{2})^{2}=2$，所以交点为 $(\frac{1}{2},2)$。

步骤二：分割积分区域 $D$

根据交点坐标，将积分区域 $D$ 分割成两个部分：

  • 区域 $D_1$：$0\leq x\leq\frac{1}{2}$，$x^{2}\leq y\leq 8x^{2}$。
  • 区域 $D_2$：$\frac{1}{2}\leq x\leq 1$，$x^{2}\leq y\leq\frac{1}{x}$。

步骤三：分别计算两个区域的二重积分

  • 计算区域 $D_1$ 上的二重积分：
    $\iint_{D_1} y \, dx \, dy=\int_{0}^{\frac{1}{2}}dx\int_{x^{2}}^{8x^{2}}y\,dy$
    先对 $y$ 积分：
    $\int_{x^{2}}^{8x^{2}}y\,dy=\left[\frac{1}{2}y^{2}\right]_{x^{2}}^{8x^{2}}=\frac{1}{2}((8x^{2})^{2}-(x^{2})^{2})=\frac{1}{2}(64x^{4}-x^{4})=\frac{63}{2}x^{4}$
    再对 $x$ 积分：
    $\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{63}{2}x^{4}dx=\frac{63}{2}\times\left[\frac{1}{5}x^{5}\right]_{0}^{\frac{1}{2}}=\frac{63}{10}\times(\frac{1}{2})^{5}=\frac{63}{320}$
  • 计算区域 $D_2$ 上的二重积分：
    $\iint_{D_2} y \, dx \, dy=\int_{\frac{1}{2}}^{1}dx\int_{x^{2}}^{\frac{1}{x}}y\,dy$
    先对 $y$ 积分：
    $\int_{x^{2}}^{\frac{1}{x}}y\,dy=\left[\frac{1}{2}y^{2}\right]_{x^{2}}^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x^{2}}-x^{4})$
    再对 $x$ 积分：
    $\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{1}{2}(\frac{1}{x^{2}}-x^{4})dx=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{x}-\frac{1}{5}x^{5}\right]_{\frac{1}{2}}^{1}$
    $=\frac{1}{2}\left[\left(-1 - \frac{1}{5}\right)-\left(-2-\frac{1}{5}\times\frac{1}{32}\right)\right]$
    $=\frac{1}{2}\left(-\frac{6}{5}+2+\frac{1}{160}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{4}{5}+\frac{1}{160}\right)=\frac{1}{2}\times\frac{128 + 1}{160}=\frac{129}{320}$

步骤四：将两个区域的积分结果相加

$\iint_{D} y \, dx \, dy=\iint_{D_1} y \, dx \, dy+\iint_{D_2} y \, dx \, dy=\frac{63}{320}+\frac{129}{320}=\frac{192}{320}=\frac{3}{5}$