题目

(1) xy'-yln y=0;

(1) $xy'-y\ln y=0$;

题目解答

答案

将方程改写为： \[xy' = y \ln y \implies \frac{dy}{y \ln y} = \frac{dx}{x}.\] 令 $u = \ln y$，则 $du = \frac{1}{y} dy$，积分得： \[\int \frac{1}{u} du = \int \frac{dx}{x} \implies \ln |u| = \ln |x| + C.\] 代回 $u = \ln y$，得： \[\ln |\ln y| = \ln |x| + C \implies \ln y = C'x \implies y = e^{Cx}.\] 其中 $C$ 为任意常数，包含解 $y = 1$（当 $C = 0$ 时）。 **答案：** $\boxed{y = e^{Cx}}$

解析

本题考查可分离变量的一阶微分方程的求解。解题思路是先将给定的微分方程进行变形，使其变量分离，然后对分离后的方程两边分别积分，最后通过换元法简化积分过程，并将结果代回原变量得到方程的通解。

  1. 分离变量：
    已知方程$xy' - y\ln y = 0$，因为$y'=\frac{dy}{dx}$，所以原方程可化为$x\frac{dy}{dx}=y\ln y$。
    将变量$x$和$y$分离，得到$\frac{dy}{y\ln y}=\frac{dx}{x}$。
  2. 换元积分：
    令$u = \ln y$，对$u$求导，根据求导公式$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$可得$du=\frac{1}{y}dy$。
    将$u = \ln y$和$du=\frac{1}{y}dy$代入$\frac{dy}{y\ln y}=\frac{dx}{x}$，则方程变为$\frac{du}{u}=\frac{dx}{x}$。
    对等式两边分别积分：
    $\int\frac{1}{u}du=\int\frac{1}{x}dx$
    根据积分公式$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x| + C$（$C$为常数），可得$\ln|u|=\ln|x| + C$。
  3. 代回原变量：
    将$u = \ln y$代回$\ln|u|=\ln|x| + C$，得到$\ln|\ln y|=\ln|x| + C$。
    根据对数的性质，可将上式变形为$\ln y = C_1x$（令$C_1 = e^C$，$C_1$为任意非零常数）。
    当$C = 0$时，$\ln y = 0$，即$y = 1$，所以通解可统一表示为$y = e^{Cx}$，其中$C$为任意常数。