3.必答[单选题]请判断下述命题：对于n维线性空间V上的线性变换，只有该线性变换有n个互不相同的特征值，才可以找到V的一组基，使得线性变换在改组基下的矩阵为对角阵.A. 对B. 错

本题考查线性变换可对角化的条件这一知识点。解题思路是明确线性变换可对角化的充分必要条件，然后与题目中所给的条件进行对比判断。

线性变换$\sigma$在$n$维线性空间$V$上可对角化的充分必要条件是$\sigma$有$n$个线性无关的特征向量。

而“线性变换有$n$个互不相同的特征值”是线性变换可对角化的充分不必要条件。也就是说，当线性变换有$n$个互不相同的特征值时，一定可以找到$V$的一组基，使得线性变换在这组基下的矩阵为对角阵；但反过来，线性变换可对角化时，不一定有$n$个互不相同的特征值，有可能存在重根特征值，但只要其对应的线性无关的特征向量个数等于特征值的重数，也能找到一组基使线性变换在该基下的矩阵为对角阵。

例如，在二维线性空间$\mathbb{R}^2$上，单位矩阵$E=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$对应的线性变换$\sigma$，它的特征值只有$\lambda = 1$（二重根），但它本身就是对角矩阵，说明该线性变换可对角化，但并没有$2$个互不相同的特征值。所以题目中的命题是错误的。