题目

证明:由平面图形 leqslant aleqslant xleqslant b, leqslant yleqslant f(x) 绕y轴旋转所成的旋转-|||-体的体积为-|||-=2pi (int )_(a)^bxf(x)dx.

题目解答

答案

解析

本题考查利用微元法求旋转体的体积。解题思路是通过选取合适的积分变量，将平面图形分割成许多小的窄条，分析每个窄条绕$y$轴旋转所形成的旋转体的体积近似值，然后利用定积分的思想将这些小体积累加起来得到整个旋转体的体积。

下面进行详细的解答：

  1. 选取积分变量：
    取横坐标$x$为积分变量，其取值范围是区间$[a,b]$。
  2. 分析窄条旋转体的体积近似值：
    在区间$[a,b]$上任取一个小区间$[x,x + dx]$，与该小区间相应的窄条图形绕$y$轴旋转所成的旋转体近似于一圆柱壳。
    • 对于这个圆柱壳，其高为$f(x)$，因为在$x$处函数值为$f(x)$，这个高度就是窄条的高度。
    • 圆柱壳的厚为$dx$，这是由于小区间的长度为$dx$。
    • 底面圆周长为$2\pi x$，根据圆的周长公式$C = 2\pi r$（这里半径$r=x$）。
    • 根据圆柱的侧面积公式$S = C\times h$（$C$为底面周长，$h$为高），再乘以厚度$dx$，就可以得到这个圆柱壳的体积近似值$dV$，即$dV=2\pi x\cdot f(x)\cdot dx$。
  3. 利用定积分求旋转体体积：
    根据定积分的元素法，将区间$[a,b]$上所有这样的小圆柱壳的体积累加起来，就得到了由平面图形绕$y$轴旋转所成的旋转体的体积$V$，即$V=\int_{a}^{b}2\pi xf(x)dx$。