7、判断题(2分) lim _(x arrow 0) ( int _(0)^x sin tdt)/(x)=1 。()A. 对B. 错

本题考查知识点为洛必达法则以及变上限积分求导。解题思路是先判断所给极限是否为$\frac{0}{0}$型未定式，若是，则可使用洛必达法则对分子分母分别求导后再求极限，最后将求得的极限值与题目所给结果进行比较判断对错。

1. 判断极限类型：
   当$x \to 0$时，分子$\int _{0}^{x} \sin tdt$，令$F(x)=\int _{0}^{x} \sin tdt$，则$F(0)=\int _{0}^{0} \sin tdt = 0$；分母$x\to 0$。
   所以$\lim _{x \rightarrow 0} \frac { \int _{0}^{x} \sin tdt}{x}$是$\frac{0}{0}$型未定式。

2. 使用洛必达法则求极限：
   根据洛必达法则，对于$\frac{0}{0}$型未定式$\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$，有$\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x \to a} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$（其中$f^\prime(x)$和$g^\prime(x)$分别是$f(x)$和$g(x)$的导数）。
   对分子$\int _{0}^{x} \sin tdt$求导，根据变上限积分求导公式$(\int _{a}^{x} f(t)dt)^\prime = f(x)$，可得$(\int _{0}^{x} \sin tdt)^\prime = \sin x$；分母$x$的导数为$(x)^\prime = 1$。
   则$\lim _{x \rightarrow 0} \frac { \int _{0}^{x} \sin tdt}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{1}$。

3. 计算极限值：
   将$x = 0$代入$\frac{\sin x}{1}$，可得$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{1}=\frac{\sin 0}{1}=0$。

4. 判断对错：
   因为求得的极限值为$0$，而题目中说极限值为$1$，两者不相等，所以该判断题答案为错。