微分方程 x (dy)/(dx) = y + x^2 的通解是（）A. y = Cx + x^2B. y = x + Cx^2C. x = Cy + y^2D. x = y + Cy^2

本题考查一阶线性非齐次微分方程的求解。解题思路是先将给定的微分方程化为一阶线性非齐次微分方程的标准形式，然后求出对应的齐次方程的通解，再使用常数变易法求出非齐次方程的通解。

步骤一：将原方程化为一阶线性非齐次微分方程的标准形式

已知原方程$x\frac{dy}{dx}=y + x^2$，等式两边同时除以$x$（$x\neq0$），得到$\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x}y = x$。
此方程为一阶线性非齐次微分方程，其标准形式为$\frac{dy}{dx}+P(x)y = Q(x)$，其中$P(x)=-\frac{1}{x}$，$Q(x)=x$。

步骤二：求对应的齐次方程的通解

对应的齐次方程为$\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x}y = 0$，这是一个可分离变量的微分方程。
将其变形为$\frac{dy}{y}=\frac{1}{x}dx$，两边同时积分：
$\int\frac{dy}{y}=\int\frac{1}{x}dx$
根据积分公式$\int\frac{1}{u}du=\ln|u|+C$，可得$\ln|y|=\ln|x|+\ln|C|$（$C$为任意常数）。
根据对数运算法则$\ln a+\ln b=\ln(ab)$，则$\ln|y|=\ln|Cx|$，所以$y = Cx$，这就是齐次方程的通解。

步骤三：使用常数变易法求非齐次方程的通解

设非齐次方程的通解为$y = C(x)x$，对其求导，根据乘积的求导法则$(uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime$，可得$\frac{dy}{dx}=C^\prime(x)x + C(x)$。
将$y = C(x)x$和$\frac{dy}{dx}=C^\prime(x)x + C(x)$代入原非齐次方程$\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x}y = x$中，得到：
$C^\prime(x)x + C(x)-\frac{1}{x}\cdot C(x)x = x$
化简可得$C^\prime(x)x = x$，即$C^\prime(x)=1$。
两边同时积分$\int C^\prime(x)dx=\int 1dx$，可得$C(x)=x + C$（$C$为任意常数）。

步骤四：得到原非齐次方程的通解

将$C(x)=x + C$代入$y = C(x)x$中，得到$y=(x + C)x=x^2 + Cx$。