设随机变量X的分布函数为[ F(x) = } 1 - (1 + x)e^-x, & x geq 0 0, & (else)

本题考查随机变量分布函数与概率密度函数的关系。解题思路是根据概率密度函数是分布函数的导数这一性质，对给定的分布函数求导，从而得到相应的概率密度函数。

已知随机变量$X$的分布函数为$F(x) = \begin{cases} 1 - (1 + x)e^{-x}, & x \geq 0 \\ 0, & \text{else} \end{cases}$。

• 当$x < 0$时：
  $F(x)=0$，对其求导，根据常数的导数为$0$，可得$f(x)=F^\prime(x)=0$。
• 当$x \geq 0$时：
  $F(x)=1 - (1 + x)e^{-x}$，对其求导，根据求导的减法法则$(u - v)^\prime = u^\prime - v^\prime$，其中$u = 1$，$v = (1 + x)e^{-x}$。
  • 先对$u = 1$求导，常数的导数为$0$，所以$u^\prime = 0$。
  • 再对$v = (1 + x)e^{-x}$求导，根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，令$u_1 = 1 + x$，$v_1 = e^{-x}$。
    • 对$u_1 = 1 + x$求导，可得$u_1^\prime = 1$。
    • 对$v_1 = e^{-x}$求导，根据复合函数求导法则，令$t=-x$，则$v_1 = e^t$，$\frac{dv_1}{dt}=e^t$，$\frac{dt}{dx}=-1$，所以$v_1^\prime=\frac{dv_1}{dx}=\frac{dv_1}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}=e^t\cdot(-1)=-e^{-x}$。
    • 那么$v^\prime = u_1^\prime v_1 + u_1 v_1^\prime = 1\times e^{-x} + (1 + x)\times(-e^{-x}) = e^{-x} - (1 + x)e^{-x} = e^{-x} - e^{-x} - xe^{-x} = -xe^{-x}$。
  • 所以$F^\prime(x)=u^\prime - v^\prime = 0 - (-xe^{-x}) = xe^{-x}$。

综上，概率密度函数$f(x) = \begin{cases} xe^{-x}, & x \geq 0 \\ 0, & \text{else} \end{cases}$。