题目
3.11各序列的图形如题3.11图所示,求下列卷积和。-|||-(1) _(1)(k)*(f)_(2)(k)-|||-(2) _(2)(k)*(f)_(3)(k)-|||-(3) _(3)(k)*(f)_(4)(k)-|||-(4) [ (f)_(2)(k)-(f)_(1)(k)] *(f)_(3)(k)-|||-↑f1(k)-|||-2-|||-1 ?1-|||--2-10 1 2 k-|||-(a)-|||-4 f2(k)-|||-1-|||--2-10 1 2 3 k-|||-(b)-|||-↑f3(k) ↑f4(k)-|||-3-|||-?2 1-|||-1 3-|||-?1 -1 2 4 k-|||--10 1 2 3 k -1 -1-|||-(c) (d)
题目解答
答案
解析
步骤 1：卷积和的定义
卷积和定义为两个离散时间信号的卷积，即 ${f}_{1}(k)*{f}_{2}(k)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{f}_{1}(n){f}_{2}(k-n)$。卷积和的结果是一个新的离散时间信号，其值在每个时间点上是两个输入信号在该时间点上的所有可能的乘积和。
步骤 2：计算 ${f}_{1}(k)*{f}_{2}(k)$
根据卷积和的定义，计算 ${f}_{1}(k)*{f}_{2}(k)$。从图中可以看出，${f}_{1}(k)$ 在 $k=-1,0,1$ 时分别取值为 $1,2,1$，${f}_{2}(k)$ 在 $k=-2,-1,0,1,2,3$ 时分别取值为 $1,1,1,1,1,1$。因此，${f}_{1}(k)*{f}_{2}(k)$ 的结果为 $|\cdots ,0,1,3,4,4,3,1,0,\cdots |$，$Tk=0$。
步骤 3：计算 ${f}_{2}(k)*{f}_{3}(k)$
根据卷积和的定义，计算 ${f}_{2}(k)*{f}_{3}(k)$。从图中可以看出，${f}_{2}(k)$ 在 $k=-2,-1,0,1,2,3$ 时分别取值为 $1,1,1,1,1,1$，${f}_{3}(k)$ 在 $k=-1,0,1,2,4$ 时分别取值为 $1,3,2,1,1$。因此，${f}_{2}(k)*{f}_{3}(k)$ 的结果为 $|\cdots ,0,3,5,6,6,3,1,0,\cdots |$，$\uparrow k=0$。
步骤 4：计算 ${f}_{3}(k)*{f}_{4}(k)$
根据卷积和的定义，计算 ${f}_{3}(k)*{f}_{4}(k)$。从图中可以看出，${f}_{3}(k)$ 在 $k=-1,0,1,2,4$ 时分别取值为 $1,3,2,1,1$，${f}_{4}(k)$ 在 $k=-1,0,1,2,3$ 时分别取值为 $1,-1,2,-2,-1,-1$。因此，${f}_{3}(k)*{f}_{4}(k)$ 的结果为 $|\cdots ,0,3,-1,2,-2,-1,-1,0,\cdots |$，$Tk=0$。
步骤 5：计算 $[ {f}_{2}(k)-{f}_{1}(k)] *{f}_{3}(k)$
根据卷积和的定义，计算 $[ {f}_{2}(k)-{f}_{1}(k)] *{f}_{3}(k)$。从图中可以看出，${f}_{2}(k)-{f}_{1}(k)$ 在 $k=-2,-1,0,1,2,3$ 时分别取值为 $1,0,-1,0,0,1$，${f}_{3}(k)$ 在 $k=-1,0,1,2,4$ 时分别取值为 $1,3,2,1,1$。因此，$[ {f}_{2}(k)-{f}_{1}(k)] *{f}_{3}(k)$ 的结果为 $|\cdots ,0,3,2,-2,2,2,1,0,\cdots |$，$Tk=0$。
卷积和定义为两个离散时间信号的卷积，即 ${f}_{1}(k)*{f}_{2}(k)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{f}_{1}(n){f}_{2}(k-n)$。卷积和的结果是一个新的离散时间信号，其值在每个时间点上是两个输入信号在该时间点上的所有可能的乘积和。
步骤 2：计算 ${f}_{1}(k)*{f}_{2}(k)$
根据卷积和的定义，计算 ${f}_{1}(k)*{f}_{2}(k)$。从图中可以看出，${f}_{1}(k)$ 在 $k=-1,0,1$ 时分别取值为 $1,2,1$，${f}_{2}(k)$ 在 $k=-2,-1,0,1,2,3$ 时分别取值为 $1,1,1,1,1,1$。因此，${f}_{1}(k)*{f}_{2}(k)$ 的结果为 $|\cdots ,0,1,3,4,4,3,1,0,\cdots |$，$Tk=0$。
步骤 3：计算 ${f}_{2}(k)*{f}_{3}(k)$
根据卷积和的定义，计算 ${f}_{2}(k)*{f}_{3}(k)$。从图中可以看出，${f}_{2}(k)$ 在 $k=-2,-1,0,1,2,3$ 时分别取值为 $1,1,1,1,1,1$，${f}_{3}(k)$ 在 $k=-1,0,1,2,4$ 时分别取值为 $1,3,2,1,1$。因此，${f}_{2}(k)*{f}_{3}(k)$ 的结果为 $|\cdots ,0,3,5,6,6,3,1,0,\cdots |$，$\uparrow k=0$。
步骤 4：计算 ${f}_{3}(k)*{f}_{4}(k)$
根据卷积和的定义，计算 ${f}_{3}(k)*{f}_{4}(k)$。从图中可以看出，${f}_{3}(k)$ 在 $k=-1,0,1,2,4$ 时分别取值为 $1,3,2,1,1$，${f}_{4}(k)$ 在 $k=-1,0,1,2,3$ 时分别取值为 $1,-1,2,-2,-1,-1$。因此，${f}_{3}(k)*{f}_{4}(k)$ 的结果为 $|\cdots ,0,3,-1,2,-2,-1,-1,0,\cdots |$，$Tk=0$。
步骤 5：计算 $[ {f}_{2}(k)-{f}_{1}(k)] *{f}_{3}(k)$
根据卷积和的定义，计算 $[ {f}_{2}(k)-{f}_{1}(k)] *{f}_{3}(k)$。从图中可以看出，${f}_{2}(k)-{f}_{1}(k)$ 在 $k=-2,-1,0,1,2,3$ 时分别取值为 $1,0,-1,0,0,1$，${f}_{3}(k)$ 在 $k=-1,0,1,2,4$ 时分别取值为 $1,3,2,1,1$。因此，$[ {f}_{2}(k)-{f}_{1}(k)] *{f}_{3}(k)$ 的结果为 $|\cdots ,0,3,2,-2,2,2,1,0,\cdots |$，$Tk=0$。