underline(设Σ为圆柱面x²+y²=9介于z=0和z=3之间的部分的外侧，计算曲面积分iint_{Sigma) xdydz+ydzdx+zdxdy.}请输入答案

本题考查利用高斯公式计算曲面积分。解题思路是先判断给定的曲面$\Sigma$不是封闭曲面，为了使用高斯公式，我们添加上底面$\Sigma_1$和下底面$\Sigma_2$使其成为封闭曲面，然后利用高斯公式计算封闭曲面上的曲面积分，最后分别计算上、下底面的曲面积分，通过封闭曲面上的曲面积分减去上、下底面的曲面积分，得到原曲面$\Sigma$上的曲面积分。

步骤一：添加辅助面构成封闭曲面

设$\Sigma_1$为$z = 3$，$x^2 + y^2 \leq 9$的上顶面，取上侧；$\Sigma_2$为$z = 0$，$x^2 + y^2 \leq 9$的下底面，取下侧。则$\Sigma$，$\Sigma_1$，$\Sigma_2$构成封闭曲面$\varOmega$的外侧，$\varOmega$为圆柱面$x^2 + y^2 = 9$介于$z = 0$和$z = 3$之间的部分。

步骤二：利用高斯公式计算封闭曲面上的曲面积分

已知向量场$\mathbf{F}=(x,y,z)$，根据高斯公式$\underset{\varSigma +\varSigma _{1}+\varSigma _{2}}{∯}Pdydz + Qdzdx + Rdxdy=\underset{\varOmega }{\iiint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz$，其中$P = x$，$Q = y$，$R = z$。
先求散度$\nabla \cdot \mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$：
$\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial (x)}{\partial x}=1$，$\frac{\partial Q}{\partial y}=\frac{\partial (y)}{\partial y}=1$，$\frac{\partial R}{\partial z}=\frac{\partial (z)}{\partial z}=1$，所以$\nabla \cdot \mathbf{F}=1 + 1 + 1 = 3$。
则$\underset{\varSigma +\varSigma _{1}+\varSigma _{2}}{∯}xdydz + ydzdx + zdxdy=\underset{\varOmega }{\iiint }3dxdydz$。
利用柱坐标变换$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$z = z$，$dxdydz = rdzdrd\theta$，积分区域$\varOmega$：$0\leq r\leq 3$，$0\leq \theta\leq 2\pi$，$0\leq z\leq 3$。
$\underset{\varOmega }{\iiint }3dxdydz = 3\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{3}rdr\int_{0}^{3}dz$

• 计算$\int_{0}^{2\pi}d\theta$：$\int_{0}^{2\pi}d\theta=\theta\big|_{0}^{2\pi}=2\pi$。
• 计算$\int_{0}^{3}rdr$：$\int_{0}^{3}rdr=\frac{1}{2}r^2\big|_{0}^{3}=\frac{1}{2}\times(3^2 - 0^2)=\frac{9}{2}$。
• 计算$\int_{0}^{3}dz$：$\int_{0}^{3}dz=z\big|_{0}^{3}=3$。

所以$3\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{3}rdr\int_{0}^{3}dz = 3\times 2\pi\times\frac{9}{2}\times 3 = 81\pi$。

步骤三：分别计算上、下底面的曲面积分

• 计算$\iint_{\Sigma_1} xdydz + ydzdx + zdxdy$：
  在$\Sigma_1$上，$z = 3$，$dz = 0$，则$\iint_{\Sigma_1} xdydz + ydzdx + zdxdy=\iint_{\Sigma_1} 3dxdy$。
  $\Sigma_1$在$xOy$平面上的投影区域$D_{xy}$为$x^2 + y^2 \leq 9$，利用极坐标变换$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dxdy = rdr d\theta$，积分区域$D_{xy}$：$0\leq r\leq 3$，$0\leq \theta\leq 2\pi$。
  $\iint_{\Sigma_1} 3dxdy = 3\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{3}rdr$
• 计算$\int_{0}^{2\pi}d\theta$：$\int_{0}^{2\pi}d\theta=\theta\big|_{0}^{2\pi}=2\pi$。
• 计算$\int_{0}^{3}rdr$：$\int_{0}^{3}rdr=\frac{1}{2}r^2\big|_{0}^{3}=\frac{1}{2}\times(3^2 - 0^2)=\frac{9}{2}$。

所以$3\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{3}rdr = 3\times 2\pi\times\frac{9}{2}= 27\pi$。

• 计算$\iint_{\Sigma_2} xdydz + ydzdx + zdxdy$：
  在$\Sigma_2$上，$z = 0$，$dz = 0$，则$\iint_{\Sigma_2} xdydz + ydzdx + zdxdy=\iint_{\Sigma_2} 0dxdy = 0$。

步骤四：计算原曲面$\Sigma$上的曲面积分

因为$\underset{\varSigma +\varSigma _{1}+\varSigma _{2}}{∯}xdydz + ydzdx + zdxdy=\iint_{\Sigma} xdydz + ydzdx + zdxdy + \iint_{\Sigma_1} xdydz + ydzdx + zdxdy + \iint_{\Sigma_2} xdydz + ydzdx + zdxdy$，所以$\iint_{\Sigma} xdydz + ydzdx + zdxdy=\underset{\varSigma +\varSigma _{1}+\varSigma _{2}}{∯}xdydz + ydzdx + zdxdy - \iint_{\Sigma_1} xdydz + ydzdx + zdxdy - \iint_{\Sigma_2} xdydz + ydzdx + zdxdy$。
将前面计算的结果代入可得：$\iint_{\Sigma} xdydz + ydzdx + zdxdy = 81\pi - 27\pi - 0 = 54\pi$。