求曲线=(x)^3-(x)^2-x+1-|||-__的凹凸区间和拐点.

考查要点：本题主要考查利用二阶导数判断曲线的凹凸区间和拐点的方法。

解题核心思路：

1. 求二阶导数：通过求导确定函数的凹凸性变化。
2. 求二阶导数为零的点：找到可能的拐点位置。
3. 判断二阶导数的符号变化：确定拐点是否存在，并划分凹凸区间。

破题关键点：

• 二阶导数的符号决定凹凸性：当$y'' > 0$时，曲线在对应区间上凹；当$y'' < 0$时，曲线凸。
• 拐点的判定：二阶导数为零且符号改变的点才是拐点。

步骤1：求一阶导数

原函数为$y = x^3 - x^2 - x + 1$，求导得：
$y' = 3x^2 - 2x - 1$

步骤2：求二阶导数

对一阶导数再次求导：
$y'' = 6x - 2$

步骤3：求二阶导数为零的点

解方程$y'' = 0$：
$6x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \dfrac{1}{3}$

步骤4：计算拐点的纵坐标

将$x = \dfrac{1}{3}$代入原函数：
$y = \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 - \dfrac{1}{3} + 1 = \dfrac{1}{27} - \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{3} + 1 = \dfrac{16}{27}$
因此，拐点为$\left(\dfrac{1}{3}, \dfrac{16}{27}\right)$。

步骤5：判断凹凸区间

• 当$x < \dfrac{1}{3}$时，取测试点$x = 0$，代入$y'' = 6(0) - 2 = -2 < 0$，故区间$(-\infty, \dfrac{1}{3})$为凸区间。
• 当$x > \dfrac{1}{3}$时，取测试点$x = 1$，代入$y'' = 6(1) - 2 = 4 > 0$，故区间$(\dfrac{1}{3}, +\infty)$为凹区间。