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本题考查矩阵化为行最简形矩阵的知识。解题思路是通过一系列的初等行变换，将矩阵化为满足行最简形矩阵的条件，即非零行的第一个非零元素为 1，且这些非零元素所在列的其他元素都为 0，同时非零行位于零行之上。

设给定矩阵$A=\begin{pmatrix}1&0&2& - 1\\2&0&3&1\\3&1&3&0\\4&3&0&0\end{pmatrix}$。

1. 首先，将第一行乘以$-2$加到第二行，乘以$-3$加到第三行，乘以$-4$加到第四行，目的是将第一列除第一行元素外的其他元素化为 0。
   • $r_2=r_2 - 2r_1$，$r_3=r_3 - 3r_1$，$r_4=r_4 - 4r_1$，得到：
     $A\sim\begin{pmatrix}1&0&2& - 1\\2-2\times1&0 - 2\times0&3-2\times2&1-2\times(-1)\\3-3\times1&1 - 3\times0&3-3\times2&0-3\times(-1)\\4-4\times1&3 - 4\times0&0-4\times2&0-4\times(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&2& - 1\\0&0& - 1&3\\0&1& - 3&3\\0&3& - 8&4\end{pmatrix}$
2. 然后，交换第二行和第三行，使第二行第一个非零元素为 1。
   • $r_2\leftrightarrow r_3$，得到：
     $A\sim\begin{pmatrix}1&0&2& - 1\\0&1& - 3&3\\0&0& - 1&3\\0&3& - 8&4\end{pmatrix}$
3. 接着，将第二行乘以$-3$加到第四行，把第四行中第二列的元素化为 0。
   • $r_4=r_4 - 3r_2$，得到：
     $A\sim\begin{pmatrix}1&0&2& - 1\\0&1& - 3&3\\0&0& - 1&3\\0&3-3\times1& - 8-3\times(-3)&4-3\times3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&2& - 1\\0&1& - 3&3\\0&0& - 1&3\\0&0&1& - 5\end{pmatrix}$
4. 再将第三行加到第四行，把第四行中第三列的元素化为 0。
   • $r_4=r_4 + r_3$，得到：
     $A\sim\begin{pmatrix}1&0&2& - 1\\0&1& - 3&3\\0&0& - 1&3\\0&0&1+( - 1)& - 5 + 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&2& - 1\\0&1& - 3&3\\0&0& - 1&3\\0&0&0& - 2\end{pmatrix}$
5. 把第三行乘以$-1$，第四行乘以$-\frac{1}{2}$，使第三行和第四行的第一个非零元素为 1。
   • $r_3=-r_3$，$r_4=-\frac{1}{2}r_4$，得到：
     $A\sim\begin{pmatrix}1&0&2& - 1\\0&1& - 3&3\\0&0&1& - 3\\0&0&0&1\end{pmatrix}$
6. 最后，将第四行乘以$1$加到第一行，乘以$-3$加到第二行，乘以$3$加到第三行，把第一、二、三行中第四列的元素化为 0。
   • $r_1=r_1 + r_4$，$r_2=r_2 - 3r_4$，$r_3=r_3 + 3r_4$，得到：
     $A\sim\begin{pmatrix}1&0&2& - 1+1\\0&1& - 3&3-3\times1\\0&0&1& - 3+3\times1\\0&0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&2&0\\0&1& - 3&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}$
     再将第三行乘以$-2$加到第一行，乘以$3$加到第二行，把第一、二行中第三列的元素化为 0。
   • $r_1=r_1 - 2r_3$，$r_2=r_2 + 3r_3$，得到：
     $A\sim\begin{pmatrix}1&0&2-2\times1&0\\0&1& - 3+3\times1&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}$